题解 P2986 [USACO10MAR]伟大的奶牛聚集

很好的一道树形dp的题目，我们观察每一个点i的答案，发现答案 f[i] 由两部分组成：

A1.i所有子树中的犇集中到i点

A2.除了i的子树中的所有犇集中到i的父亲节点，再走到i点

f[i] = A1 + A2

我们发现i的答案和i的孩子有关，也和i的父亲有关。一般这样的问题用两次dfs就可以解决。（由于选谁是根节点都无所谓，以下以1号节点为根）

第一次dfs我们求出每一个点的 f[i]，意思是以i为根节点的子树中的牛集中到i点的“不方便值”。显然我们只要统计i点子树中牛的数量 q[i] 然后递推就可以了。

第二次dfs我们要把 f[i] 变成所有牛（而不是子树中的牛）集中到i点的不方便值。设i的父亲是j，i到j的距离是s。ans[i] 就等于 f[j] + (q[1] - q[i]) * s - q[u] * s。（多想几遍就想通了，要理解上面A1A2的意思）

下面放代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}
ll ans = 1e15, f[N], c[N], q[N];
//f在两次dfs里含义不一样 c是每个点有多少牛 q是每个点和他的子树总共有多少牛
int tot, head[N], n;

struct edge
{
    int to, next, dis;
    edge() {}
    edge(int x, int y, int z) { to = x, next = y, dis = z; }
}a[2 * N];
//邻接表存图
void add(int from, int to, int dis)
{
    a[++tot] = edge(to, head[from], dis);
    head[from] = tot;
}

void dfs(int x, int fa)
{
    q[x] += c[x];
    for (int i = head[x]; i; i = a[i].next)
    {
        int u = a[i].to, s = a[i].dis;
        if (u != fa)
        {
            dfs(u, x);
            q[x] += q[u];
            f[x] += f[u] + q[u] * s;
        }
    }
}
//第一次dfs 求出A1
void dfs2(int x, int fa)
{
    for (int i = head[x]; i; i = a[i].next)
    {
        int u = a[i].to, s = a[i].dis;
        if (u != fa)
        {
            f[u] = f[x] + (q[1] - q[u]) * s - q[u] * s;
            dfs2(u, x);
        }
    }
}
//第二次dfs 求出每个点的答案
int main()
{
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[i] = read();
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int a1 = read(), a2 = read(), a3 = read();
        add(a1, a2, a3);
        add(a2, a1, a3);
    }
    dfs(1, 1);
    dfs2(1, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = min(ans, f[i]); //在所有点中找到最方便的
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

19.08.31

题解 P2986 [USACO10MAR]伟大的奶牛聚集

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