题解 【luogu P1967 NOIp提高组2013 货车运输】

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题解

题意

• 给你一个无向图，求两个点之间的一条路径，使路径上的最小值最大

算法：Kruskal最大生成树+倍增lca

分析

• 首先容易知道，答案一定在该图的最大生成树上
• 之后问题便转换成了树上点$u$到$v$的简单路径42中最小的边权
• 经典的树上倍增
• 用fa[i][j]来表示从第$i$个点往上$2^j$条边到达的点
• 用s[i][j]来表示从第$i$个点往上$2^j$条边中的最小值
• 答案就是在求lca的过程中统计一下最小值就可以了（具体详见代码）

复杂度：
Kruskal $O(m \log m)$
倍增 $O(n \log n)$
总复杂度 $O(n \log n + m \log m)$
代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 50050;
int n, m, q;
int p[MAXN];
int dep[MAXN], vis[MAXN], fa[MAXN][20], s[MAXN][20]; 
struct Edge
{
    int u, v, w;
    bool operator < (const Edge &_edge) const
    {
        return w > _edge.w;
    }
}edge[MAXN];
int ecnt;
struct node
{
    int v, w;
    node *next;
}pool[MAXN], *head[MAXN];
void addedge(int u, int v, int w)
{
    node *p = &pool[++ecnt], *q = &pool[++ecnt];
    p->v = v, p->w = w, p->next = head[u], head[u] = p;
    q->v = u, q->w = w, q->next = head[v], head[v] = q;
}
int find(int x)
{
    if(p[x] == 0) return x;
    else return p[x] = find(p[x]);
}
bool Union(int x, int y)
{
    int px = find(x);
    int py = find(y);
    if(px == py)
        return false;
    p[px] = py;
    return true;
}
void dfs(int u)
{
    int v;
    vis[u] = 1;
    for(node *p = head[u]; p; p = p->next)
        if(!vis[v = p->v])
        {
            dep[v] = dep[u] + 1;
            fa[v][0] = u;
            s[v][0] = p->w;
            for(int j = 1; fa[v][j - 1] != 0; j++)
                fa[v][j] = fa[fa[v][j - 1]][j - 1], 
                s[v][j] = min(s[v][j - 1], s[fa[v][j - 1]][j - 1]);
                //预处理
            dfs(v);
        }
}
int query(int u, int v)//倍增
{
    int ret = 2147483647;//返回值。因为求最小，所以初始赋最大
    if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    for(int i = 15; i >= 0; i--)
        if(fa[u][i] != 0 && dep[fa[u][i]] >= dep[v])
            ret = min(ret, s[u][i]), u = fa[u][i];//一定要先统计最小值
    if(u == v) return ret;
    for(int i = 15; i >= 0; i--)
        if(fa[u][i] != fa[v][i])
            ret = min(ret, min(s[u][i], s[v][i])), //统计最小
            u = fa[u][i], 
            v = fa[v][i];
    ret = min(ret, min(s[u][0], s[v][0]));//不要忘了最后还有两条边
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
    sort(edge + 1, edge + m + 1);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        if(Union(edge[i].u, edge[i].v))
            addedge(edge[i].u, edge[i].v, edge[i].w);
    dfs(1);
    scanf("%d", &q);
    for(int i = 1; i <= q; i++)
    {
        int u, v;

        scanf("%d%d", &u, &v);
        if(find(u) != find(v)) 
        {
            printf("-1\n");
            continue ;
        }
        printf("%d\n", query(u, v));
    }
    return 0;
}