遗传算法求数值函数的最值
0. 引言
设有函数：
f(x) = x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x);其图像容易画出，如下所示：
先要求求该函数的最大值，读者可能已经有了很多种思路，本文介绍遗传算法是如何解决此类问题的。
1. 遗传算法简介
如果不关心算法的实现细节的话，遗传算法可以使用如下的流程描述。
这基本是借鉴生物种群的自然演化规律而抽象得到的流程图。下面分别解释流程图中的各个步骤。
编码
众所周知的，生物中都有保存其遗传信息的物质——染色体，染色体中的记录的遗传信息——基因决定了一个生物个体的表现性状，可以简单地认为一个染色体唯一确定一个生物个体。
染色体的本质是一种蛋白质，其结构非常复杂，用计算机模拟是不现实的。因此遗传算法简单地把染色体视为一串二进制位组成的序列（即该序列中的所有元素取自集合{0,1}）。
假设有命名为A的生物，规定其染色体序列长度为8，这时可以取得一个个体：
[0,1,0,0,1,0,1,1]初始化种群
显然一个生物种群不可能只包含一个个体，因此可以规定种群的大小，为方便说明原理，这是规定其大小为4。初始种群可以随机生成。如下：
[1,1,1,1,1,1,0,0]
[1,1,1,1,0,1,1,0]
[1,0,1,0,0,0,0,1]
[0,0,0,1,0,1,0,1]评估种群中的个体适应度
生物种群的存续与兴衰决定于其对于环境的适应能力。对于使用二进制位序列表示的个体，总可以找出一个函数来评估这个个体对环境的适应能力。可以规定函数：
f(x) = int(x)
# x是输入的一个个体，如[0,1,0,0,1,0,1,1]
# 返回值是该二进制序列表示的整数此外还可以规定上述函数的返回值（一个整数）越大，个体的适应度越高。显然适应度最高的个体是：
[1,1,1,1,1,1,1,1]选择
选择操作用于选出一个种群中存活概率更高的个体，这些个体组成一个新的种群。显然个体适应度越高的个体存活概率更高。因此可以使用赌轮盘算法选出新种群。赌轮盘算法的原理不是本文的重点，因此略去，其实现代码见后文。
交叉
交叉操作也是对生物遗传过程的抽象。设有两个生物个体，这两个个体的生殖繁衍过程中，其染色体会进行交叉交换，生成新的染色体，繁衍得来的新的个体携带新的染色体。
设有两个生物个体如下：
[1,1,1,1,1,1,0,0]
[1,1,1,1,0,1,1,0]设对这两个生物个体有一定的概率发生交叉操作，而交叉操作必然发生在二进制位序列中的某一位置。这一位置的选择也是随机的。假设从第5位（从1开始计数）开始交叉，其步骤如下：
[1,1,1,1,1,1,0,0]
[1,1,1,1,0,1,1,0]
->
[1,1,1,1,1],[1,0,0]
[1,1,1,1,0],[1,1,0]
->
[1,1,1,1,1],[1,1,0]
[1,1,1,1,0],[1,0,0]
->
[1,1,1,1,1,1,1,0]
[1,1,1,1,0,1,0,0]变异
生物在自然环境中受环境的影响，有可能发生遗传信息的永久改变，也就是变异。遗传算法规定，二进制位序列的变异指的是在一定的概率下，随机选择该序列中的一位取反。假设在第2位发生了变异，步骤如下：
[0,1,0,0,1,0,1,1]
->
[0],1,[0,0,1,0,1,1]
->
[0],0,[0,0,1,0,1,1]
->
[0,0,0,0,1,0,1,1]小结
上述的各个步骤按照流程图所示依次执行，直到一个种群中所有的个体都相同（即收敛），如：
[1,0,1,0,0,0,0,1]
[1,0,1,0,0,0,0,1]
[1,0,1,0,0,0,0,1]
[1,0,1,0,0,0,0,1]或者主循环的迭代次数超过规定次数，算法停止，输出结果。
Matlab入门
本文中的算法使用Matlab描述，因此需要对Matlab有一定的了解。但是帮读者入门Matlab不是我们的任务，因此推荐以下手册，可以帮助读者快速掌握Matlab：
https://ww2.mathworks.cn/help/pdf_doc/matlab/getstart_zh_CN.pdf
Matlab是收费软件，而且对于运行该软件的性能有一定要求，因此可以使用开源免费且占用资源较少的Octave作为替代品，其官网如下：
https://www.gnu.org/software/octave/
Octave使用的语法规则与Matlab基本相同，不兼容之处见下：
https://en.wikibooks.org/wiki/MATLAB_Programming/Differences_between_Octave_and_MATLAB
本文所附的代码在Octave上运行通过，并未在Matlab上进行测试，如果有需要使用Matlab运行代码，需要自己检查兼容性。
算法实现
function retval = main (input1, input2)
% 主函数，input1,input2,以及retval都没有实际作用
clear all;
close all;
clc;
NP = 50; % 种群大小
L = 16; % 染色体序列长度
Pc = 0.8; % 交叉概率
Pm = 0.1; % 变异概率
G = 50; % 主循环迭代次数
Xs = 10; % 所求函数的定义域的最大值
Xx = 0; % 所求函数的定义域的最小值
S = 10; % 什么意思自己悟吧，我只是不想硬编码成10
pop = initPop(NP,L);
for i = 1:G
dpop = decode(pop);
xpop = getX(dpop,L,Xx,Xs);
fit = fitValue(xpop);
if all(fit == fit(1)) % 如果收敛，停止主循环
break;
endif
[maxFit,maxIndex] = max(fit);
maxX(i) = getX(decode(pop(maxIndex,:)),L,Xx,Xs);
maxY(i) = maxFit;
pop = select(pop,fit,xpop);
pop = crossOver(pop,Pc);
pop = mutation(pop,Pm);
endfor
x = Xx:(Xs-Xx)/(2^L-1)/S:Xs;
y = targetFunc(x);
subplot(2,1,1);
plot(x,y); % 绘制函数图像
hold on;
plot(maxX,maxY,'r*'); % 绘制历次迭代生成的最大值点
[px,py] = size(maxY);
x = 1:py;
y = maxY;
subplot(2,1,2);
plot(x,y); % 绘制历次生成的最大值点关于迭代次数的折线图
hold off;
endfunction
function pop = initPop(NP,L)
pop = round(rand(NP,L));
endfunction
function res = targetFunc(x)
res = x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x);
endfunction
function res = decode(pop)
% 用于将二进制位序列转化成整数
[px,py] = size(pop);
res = ones(px,1);
for j = 1:py
res(:,j) = 2.^(py-j)*pop(:,j);
endfor
res = sum(res,2);
endfunction
function res = getX(dpop,L,Xx,Xs)
% 缩放二进制位序列表示成的整数到
% 定义域中
res = dpop./(2^L-1).*(Xs-Xx);
endfunction
function res = fitValue(xpop)
res = targetFunc(xpop);
endfunction
function newpop = select(pop,fit,xpop)
% 赌轮盘算法的实现
[maxFit,maxIndex] = max(fit);
[minFit,minIndex] = min(fit);
[px,py] = size(pop);
newpop = ones(px,py);
fit = (fit-minFit)./(maxFit-minFit);
fit = fit./sum(fit);
cumfit = cumsum(fit);
ms = sort(rand(px,1));
fiti = 1;
newi = 1;
while newi <= px
if ms(newi) < cumfit(fiti)
newpop(newi,:) = pop(fiti,:);
newi = newi + 1;
else
fiti = fiti + 1;
endif
endwhile
endfunction
function newpop = crossOver(pop,Pc)
% 交叉操作
[px,py] = size(pop);
newpop = ones(size(pop));
for i = 1:2:px-1
if rand<Pc
cpoint = ceil(rand*py);
newpop(i,:) = [pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py)];
newpop(i+1,:) = [pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py)];
else
newpop(i,:) = pop(i,:);
newpop(i+1,:) = pop(i+1,:);
endif
endfor
endfunction
function newpop = mutation(pop,Pm)
% 变异操作
[px,py] = size(pop);
newpop = ones(px,py);
for i = 1:px
if rand<Pm
mpoint=ceil(rand*py);
newpop(i,mpoint) = 1 - pop(i,mpoint);
newpop(i,:) = pop(i,:);
else
newpop(i,:) = pop(i,:);
endif
endfor
endfunction
绘图结果如下：
