剪绳子问题(动态规划,贪婪,递归)

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），
每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

注意
当长度大于3 f[n]才能得到绳子的最大乘积

动态规划

特征
从上往下分析问题，从下往上求解问题;

• 求一个问题的最优解;(最大值或者最小值)
• 问题能够分解成若干个子问题,并且子问题之间还有重叠的更小的子问题
• 分解后的小问题也存在最优解,如果把小问题的最优解组合起来能够得到整个问题的最优解,就可以使用动态规划

实现

public int cutRope(int target) {
    //排除特殊情况
    if (target < 2) {
        return 0;
    }
    if (target == 2) {
        return 1;
    }
    if (target == 3) {
        return 2;
    }
    int[] products = new int[target + 1];
    products[0] = 0;
    products[1] = 1;
    products[2] = 2;
    products[3] = 3;
    for (int i = 4; i <= target; i++) {
        int max = 0;
        for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
            int product = products[j] * products[i - j];
            max = Math.max(max, product);
        }
        products[i] = max;
    }
    return products[target];
}

贪婪

• 由于是乘法，那么除了1以外越多数相乘，得到的结果就越大。
• 因此从2开始考虑。但是都分成2的话必然会有奇数分成包含1的段数，因为1相当于浪费了一个乘数，所以如果最后剩1的时候我们应该将他变为3. 因此得到分成的段数长度为2，3是最好的。
• 又因为 2 * 2 * 2 < 3 * 3 说明3个2都不如2个3 ，因此应该让3 相对来说比2 多。
• 于是让该数对3相除，余数如果为2，则分为 1个2 ，N个3 为最优解，如果余数为1，则应分为2个2 ，N-1 个3 为最优解

实现

public int cutRope(int target) {
    //排除特殊情况
    if (target < 2) {
        return 0;
    }
    if (target == 2) {
        return 1;
    }
    if (target == 3) {
        return 2;
    }
    int timesOf3 = target / 3;
    if (target - timesOf3 * 3 == 1) {
        timesOf3--;
    }
    int timesOf2 = (target - timesOf3 * 3) / 2;
    int result = (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
    return result;
}

递归

虽然动态规划比递归不知高到那里去,因为递归有很多的重复求解情况
但是,我看互联网上,剪绳子好像没有递归的解法,于是...就当看个玩

思路

f(n)=max(f(i)*f(n-i)) 0<i<n

实现

public int cutRope03(int target) {
    if (target < 2) {
        return 0;
    }
    if (target == 2) {
        return 1;
    }
    if (target == 3) {
        return 2;
    }
    int max = 0;
    for (int i = 1; i <= target/2; i++) {
        max = Math.max(cutRope03Core(i) * cutRope03Core(target - i), max);
    }
    return max;
}

private int cutRope03Core(int target) {
    if (target < 4) {
        return target;
    }
    int max = 0;
    for (int i = 1; i <= target/2; i++) {
        max = Math.max(cutRope03Core(i) * cutRope03Core(target - i), max);
    }
    return max;
}