动态规划问题三简单理解——剪绳子

问题说明

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长度的m段（m，n都是整数，n>1,m>1）,每段绳子的长度记为k[0],k[1]…k[m]。请问k[0],k[1]…k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子长度为8时，我们把它剪成长度分别为2，3，3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题解释

1. 一条长为n的绳子最多被切n-1次
2. 当切完第m次后，它都会利用到前面m-1次的线段乘积，也就是说我们可以把最后一次切下的地方约定下来，这样我们只需求得前m-1次切绳的最大乘积

思路分析

1. 创建数组cut[n][n]
2. cut[i][j]：表示一共切了i刀，最后一刀落在第j的位置上
3. 当i=0或者j=0时，cut[i][j]没有意义，因为切0刀或者落在第0的位置是没有意义的。
4. 当i=1时，也就是说只切一刀的时候，绳子被切成两半，右边部分暂且不管，左边部分的长度就等于j
5. 当i=j的时候，切了i刀，最后一刀落在第i位置上，也就是说，每一刀都是切成1单位长度(只管左边，右边暂且不管),所以cut[i][i]=1
6. 那么对于数组中其他的值如何确定呢？
   • 举例：cut[2][3]:切了2刀，第2刀切在第3位置上
   • 那么第一刀可能切在第2位置上，也可能切在第1位置上，即：第一刀可能是cut[1][2]和cut[1][1]，我们只需要比较**cut[1][2]×(3-2)和cut[1][1]×(3-1)**的值，取最大值即是cut[2][3]的值
   • 对于其他的cut[i][j]，它的值等于cut[i-1][j-1]×(1) 到 cut[i-1][i-1]×(j-i+1) 中的最大值.

cut[i][j]赋值代码

//cut数组赋值，i=0或j=0没有意义
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=i;j<n;j++){
                if(i==1)    cut[i][j]=j;
                else if(i==j)
                    cut[i][j]=1;
                else{
                    //填充数组主要部分
                    int max = 0;
                    for(int t=j-1;t>=i-1;t--){
                        if(cut[i-1][t]*(j-t)>max)
                            max = cut[i-1][t]*(j-t);
                    }
                    cut[i][j]=max;
                }
            }
        }