题目描述
题解
一种显然的水法：max(0,-(点权-边权之和*2))
这样会挂是因为在中途体力值可能会更小，所以考虑求走完每棵子树所需的至少体力值
考虑从子树往上推求出当前点的答案
设每棵子树从根往下走的所需体力值为f，走完的贡献为sum
由于要加上 当前点-->儿子 这条边，所以实际上走完的贡献sum'=sum-边权*2
所需的体力值f'=max(边权+f,2*边权-sum)，这里其实有两种情况
①当前点-->儿子-->子树（-->儿子），那么最坏情况就是(子树的最坏情况+边权)
②当前点-->儿子-->子树-->儿子-->当前点，最终的贡献实际为sum-边权*2，那么就需要至少max(0,边权*2-sum)的体力
显然对于贡献≥0的点按照需求从小到大取
对于贡献<0的点，定义减少量=-贡献
那么按照需求-减少量从大到小排序即可
证明：
定义差值=需求-减少量
对于两个儿子，设第一个儿子的差值和减少量分别为a和b，第二个为cd
先假设已经按照差值排序，且排序后两个儿子相邻，那么有a≥c
证明交换后不会更优
设x为走这两棵子树前的体力，保证在中途不会出现负数且能达到需求量
那么有
交换前：
x≥a+b,x-b≥c+d
交换后：
x≥c+d,x-d≥a+b
根据式子
根节点贡献+恢复的体力-每棵子树的减少量之和=剩余体力，其中只有恢复的体力是变量，所以可以发现剩余体力越少=答案越小
由于交换前后剩余的体力都是x-b-d，所以要使x尽量小（太大可能会导致有剩余）
所以变成证明
max(a+b,b+c+d)≤max(c+d,a+b+d)
由于a+b+d≤max(c+d,a+b+d)，且a+b+d≥a+b和b+c+d（a≥c），所以max(a+b,b+c+d)≤a+b+d≤max(c+d,a+b+d)
得证
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;
struct type{
long long f,sum;
} b[100001],c[100001];
int a[200001][3];
int ls[100001];
int w[100001];
long long f[100001];
long long sum[100001];
int n,i,j,k,l,len;
long long ans;
bool cmp(type a,type b)
{
return a.f<b.f;
}
bool Cmp(type a,type b)
{
return a.f-a.sum>b.f-b.sum;
}
void New(int x,int y,int z)
{
++len;
a[len][0]=y;
a[len][1]=ls[x];
a[len][2]=z;
ls[x]=len;
}
void dfs(int Fa,int t)
{
int i,l1=0,l2=0;
long long now=w[t];
sum[t]=w[t];
for (i=ls[t]; i; i=a[i][1])
if (a[i][0]!=Fa)
{
dfs(t,a[i][0]);
sum[t]+=sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2];
}
if (!ls[t]) return;
for (i=ls[t]; i; i=a[i][1])
if (a[i][0]!=Fa)
{
if (sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2]>=0)
{
++l1;
b[l1].f=max(f[a[i][0]]+a[i][2],-(sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2]));
b[l1].sum=sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2];
}
else
{
++l2;
c[l2].f=max(f[a[i][0]]+a[i][2],-(sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2]));
c[l2].sum=-(sum[a[i][0]]-a[i][2]-a[i][2]);
}
}
if (l1)
{
sort(b+1,b+l1+1,cmp);
fo(i,1,l1)
{
if (now<b[i].f)
{
f[t]+=b[i].f-now;
now=b[i].f;
}
now+=b[i].sum;
}
}
if (l2)
{
sort(c+1,c+l2+1,Cmp);
if (now<(c[1].f-c[1].sum))
{
f[t]+=(c[1].f-c[1].sum)-now;
now=0;
}
else
now-=(c[1].f-c[1].sum);
fo(i,1,l2)
{
if (i>1)
now+=(c[i-1].f-c[i-1].sum)-(c[i].f-c[i].sum);
if (now<c[i].sum)
{
f[t]+=c[i].sum-now;
now=c[i].sum;
}
now-=c[i].sum;
}
}
}
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
// freopen("b.out","w",stdout);
freopen("horse.in","r",stdin);
freopen("horse.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
fo(i,1,n)
scanf("%d",&w[i]);
fo(i,2,n)
{
scanf("%d%d%d",&j,&k,&l);
New(j,k,l);
New(k,j,l);
}
dfs(0,1);
printf("%lld\n",f[1]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}