题目描述
不到长城非好汉，但是不是每个人都能轻易的登上长城的。
因为只有解开 $LCM（k^{2^l}+1，k^{2^{（l+1）}}+1， ……，k^{2^r}+1）$ 这道题的人才能登上。其中k，l，r是给定的整数。由于结果比较大，我们将结果对p取余，p是一个质数。
说明：
$LCM（a_1，a_2，…，a_n）$ 表示的是 $a_1，a_2，…,a_n$ 的最小公倍数。
我们规定，对于任意整数x， $x^0＝1$ ；
不到长城非好汉，但是不是每个人都能轻易的登上长城的。
因为只有解开 LCM（k2l+1，k2（l+1）+1，……，k2r+1）LCM（k2l+1，k2（l+1）+1，……，k2r+1）
这道题的人才能登上。其中k，l，r是给定的整数。由于结果比较大，我们将结果对p取余，p是一个质数。
说明：
LCM（a1，a2，…，an）LCM（a1，a2，…，an）
表示的是 a1，a2，…,ana1，a2，…,an
的最小公倍数。
我们规定，对于任意整数x， x0＝1x0＝1
；
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输入
```{.ng-binding style="font-size: medium; word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;"}
多组测试数据：
第一行，有一个整数t（1≤t≤10^5）表示多少个测试用例。
接下来的t行，每行有四个整数，格式为“ki li ri pi”（1≤ki≤10^6，0≤li≤ri≤10^18，2≤pi≤10^9,保证p是质数），表示题干公式中的k，l，r，p。
```
输出
{.ng-binding style="font-size: medium; word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;"} 共t行，每行一个整数，表示对应的答案。
输入样例
2
3 1 10 2
5 0 4 3输出样例
0
0**
BB
痛失一血（打了场Comet OJ回来就没了）
不过后来又刷了一道水题
题解
LCM+取模=结论题
结论1
$gcd(k^{2^i}+1,k^{2^j}+1)=1 (i\neq j 且k为偶数)$
证明：
设i<j
若存在$q\mid k^{2^i}+1$，则$k^{2^i}\equiv -1(mod ;q)$
那么$k^{2^{i+k}}\equiv 1(mod ;q)$（k>0），则$k^{2^j} \equiv 1(mod ;q)$，$k^{2^j}+1 \equiv 2(mod ;q)$
当q>2时无解，当q=2时由于k为偶数，所以k的幂+1为奇数，不存在为2的因子（即无解）
所以gcd=1
结论2
gcd(k^{2^i}+1,k^{2^j}+1)=2 (i\neq j 且k为奇数)$
证明：
同上，可以发现只存在q=2的公因数
乱搞
简单又自然
先特判掉模数为2
①K不是P的倍数
如果K不是P的倍数，那么把式子拆开后变成
$ans=\sum_{i=0}^{2^{r-l+1}-1}{({k^{2^l}})^i}$
设$a={k^{2^l}}$，则$ans=\sum_{i=0}^{2^{r-l+1}-1}{a^i}$
2^l^和$2^r$可以快速幂求，因为a^0^=a^p-1^ mod p=1，可以发现模数实际上是(P-1)
剩下的就是一个等比数列求和
因为K不是P的倍数且P为质数，所以$k^{2^{i}}$必定不为0，$k^{2^{i}}-1$（等比数列求和的分母）不会为-1
但是$k^{2^{i}}$可能为1，这样的话$ans=2^{r-l+1}$
②K是P的倍数
显然ans=1
如果K为奇数，那么就还要除掉多出来的的2^R-L^
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
using namespace std;
long long K,L,R,mod,Mod,S,ans;
int Q,i,j,k,l;
long long qpower(long long a,long long b)
{
long long ans=1;
while (b)
{
if (b&1)
ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
void js()
{
long long s1,s2,S1,S2;
--mod;
s1=qpower(2,R+1);
s2=qpower(2,L);
s1-=s2;
if (s1<0)
s1+=mod;
++mod;
S1=qpower(K,s1);
S2=qpower(K,s2);
if (S2>1)
ans=(S1*S2%mod-1)*qpower(S2-1,Mod)%mod;
else
ans=qpower(2,R-L+1);
if (ans<0)
ans+=mod;
}
int main()
{
// freopen("51nod_1820_4_in.txt","r",stdin);
// freopen("51nod1820.in","r",stdin);
// freopen("51nod1820.out","w",stdout);
scanf("%d",&Q);
for (;Q;--Q)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&K,&L,&R,&mod);
Mod=mod-2;
if (mod==2)
{
if (K&1)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
continue;
}
if (!(K%mod))
ans=1;
else
{
ans=0;
js();
}
if (K&1)
ans=ans*qpower((mod+1)/2,R-L)%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
}