现代信号处理-现代功率谱密度估计AR模型

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前言

本栏前两节经典谱估计中提到：经典谱估计下，方差和分辨率是一对矛盾。这是因为经典谱估计将数据进行了加窗，自相关法还对自相关进行了加窗（二次加窗），这就让我们想到把原始数据藏在一个系统H(Z)中，让这个系统包含这组数据的特性，这样一来，系统中的系数就可以表示系统反映的数据。这就是现代功率谱密度估计-参数模型法的思想。按照书本的就是先根据数据的自相关函数r(m)求出H(Z)系数，再通过H(Z)进行谱估计。
参数模型法有AR,MA,ARMA模型，其性质为：

	AR	MA	ARMA
H(Z)
线性/非线性	线性	非线性	非线性
反映频谱特性	峰值	谷值	兼顾

一、概率梳理

由于AR模型是线性方程，也可以等效预测模型，所以AR模型远比另外两种实用，所以本文只梳理和仿真了AR模型。
首先模型中令输入是白噪声，需要求解H(Z)的系数也就是ak,k=1,2…p。也就是要通过数据的自相关与ak的关系进行求解，也就是需要通过正则方程（Yule-Walker方程），正则方差的推导过程如下：

其中，正则方差可以用Lecinson-Durbin递推快速算法计算，也就是自相关法的方法。后面还会说其他的方法以及比较。
并且在预测模型中，二者系统的系数是相等的，其最小误差等效于AR模型输入端白噪声的方差。其关系如下：

二、AR模型的几种方法

比较常见的有刚刚提及的自相关法，还有burg法和改进后的协方差法，它们之间的区别如下：

	自相关法	burg法	改进后的协方差法
预测方式	前向预测	前后向预测	前向预测
加窗	前后加窗	前后都不加窗	前后都不加窗
Levinson递推算法	可以使用	可以使用	不可使用

除此之外，还有常会用到的最大熵谱估计，由于数据可能相对于原始数据还是有截短。之前的经典谱估计是将两边直接为零，而这里是将两边加上最随机的数，也就是最大熵的准则。

三、AR模型的方法与具体仿真

为了和经典功率谱估计比较，采用的原数据和前两节经典功率谱估计一样的，仿真采取的阶数均为50

%%现代功率谱估计的一些方法
clear all;
clc;close all;clear;
N=200; Nfft=20000; Fs=1; n=0:N-1;
x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+0.1*randn(size(n));
fn=-0.5:2/N:0.5;
figure;
%% burg法
% 使用 Burg 算法得到功率谱估计；
xpsd=pburg(x,50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(221);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('burg法');
%% 协方差法
xpsd=pcov(x,50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(222);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('协方差法');
%% 协方差的改进法
xpsd=pmcov(x,50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(223);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('改进的协方差法');
%% 最大熵法
xpsd=pmem(x,50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(224);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('最大熵法');
%% 自相关
figure;
% 使用自相关矩阵分解的 MUSIC 算法得到功率谱估计；
xpsd=pmusic(x',50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(311);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('自相关矩阵分解的MUSIC算法');
% 使用自相关矩阵分解的特征向量算法得到功率谱估计；
[xpsd,F,V,E]=peig(x',50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(312);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('自相关矩阵分解的特征向量算法');
% 使用自相关法得到功率谱估计；
xpsd=pyulear(x,50,N);
pmax=max(xpsd);
xpsd=xpsd/pmax;
xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);
subplot(313);
plot(fn,fftshift(xpsd));grid on;title('自相关法');