[扩展中国剩余定理(EXCRT)]

前言

与 这个 定理 搏斗了 一天终于 把它kill 了 哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

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题目描述

给定 n 组 非负整数 ai,bi,求解关于 x 的方程组

　　　　　　　　　　　　x ≡ a1 （mod b1）

　　　　　　　　　　　　x ≡ a2 （mod b2）

　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　x ≡ an （mod bn）

声明 ： M 表示 前 i-1 个bi 的 最小公倍数（LCM）, ans 表示 满足前 i-1 个方程的最小解

初始化： 特判 第一组方程 令 M = b1 , ans = a1（第一组的话 b1的最小公倍数就是自己，只看第一个方程 ans 就等于 a1）

从第二组开始：

　　　　　　　　LCM(b1,b2) =  b1×b2 /（gcd（b1，b2））这个不需要证明

　　　　　　　　因为 此时 M = b1 ，所以原式可化为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　LCM(M,b2) =  M×b2 /（gcd（M，b2））

考虑： ans + t×M 一定是 前 i-1 个方程 的通解，因为 ans 是 最小解 所以 ans 加上前 i-1 个方程 bi 的最小公倍数 一定是前 i-1 个方程 的通解。（其中 t ∈ Z）

所以 如果要使得 ans 也满足 下一个方程的话（以第二个 来举例）：

　　　　ans + t×M ≡ a2 （mod b2） 此时 ans 是a1 是已知的

移项得 : t×M ≡ a2 - ans （mod b2）(这一看就是 扩展欧几里得）(ax ≡ c (mod b)）

所以 此时 t 就相当于是 x ，M 相当于是a ，a2 - ans 就相当于是c

所以利用扩展欧几里得 可以 解得t

但是 我们 要考虑 一个问题 扩展欧几里得 的操作

也就是说 我们解得的t 其实是 t × M ≡ gcd(M，b2) (mod b2) 的解

所以 a2 - ans 到 gcd(M，b2) 相当于是乘了一个 gcd(M，b2)/（a2 - ans） 所以我们得到的解 也相当于是 乘了 一个gcd(M，b2)/（a2 - ans）

那么真正的 t 应该是 t/（gcd(M，b2)/（a2 - ans））

也就是 t * （a2 - ans）/gcd（M,b2）

那么 对于下一次 求解来说 

更新答案 ： ans = ans + t * M，然后 ans = （ans%M + M） % M 保证ans 是最小的正整数解

　　　　　　因为 LCM(M,b2) =  M×b2 /（gcd（M，b2）） 所以 M *= b2 /（gcd（M，b2））。

同理 循环 n - 1 次 得到最小的 ans 也就是要求的 x

下面贴代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 100005;

int n;


LL ai[maxn],bi[maxn];

LL quickmul(LL a,LL b,LL mod)// 这是龟速乘 
{
    LL res = 0;
    
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res + a) % mod;
        
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1; 
    }
    
    return res % mod;
}

LL exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)// 扩欧 
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    LL r = exGcd(b,a%b,x,y);
    
    LL t = x; x = y; y = t - a/b * y;
    
    return r;
}

LL exCrt()
{
    LL x,y;
    
    LL M = bi[1], ans = ai[1];//  特判 第一组 解 
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        LL a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;// a*x ≡ c (mod b) 
        
        LL gcd = exGcd(a,b,x,y);
        
        x = quickmul(x,c/gcd,b/gcd);// 相当于 x *= c/gcd 
        
        ans += x * M;
        
        M *= (b / gcd);
        
        ans = (ans % M + M) % M;// 找最小的ans 
    }
    
    return (ans % M + M) % M;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&bi[i],&ai[i]);
        
    printf("%lld",exCrt());
    
    return 0;
}