扩展中国剩余定理(exCRT)

首先 了解扩展中国剩余定理 你真的一点都不需要了解中国剩余定理
不过 你需要了解逆元 扩展欧几里得
所以…
如果不会逆元的请看这里(想学中国剩余定理也有$----->$ 详解数论从入门到入土
想更好地把逆元应用到欧拉函数、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理请看这里$----->$数论1
想更好地把逆元应用到组合数、扩展欧几里得请看这里$----->$数论2
咳咳很好

ok说正事
什么是扩展中国剩余定理 就是下面这个:

$\{\begin{array}{l}n\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ n\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ...\\ n\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$
其中$(m_1,m_2,...,m_k)$不一定是$1$,求$n$的最小非负整数解

$Solution:$
假设已经求出前$k-1$个方程组成的同余方程组的一个解为$x$
设$M={\prod }_{i=1}^{k-1}{m}_i$，前$k-1$个方程的最小非负整数解为$x$
则前$k-1$个方程组的通解为$x+Mi(i\in Z)$
对于加入的第$k$个方程 我们就是要找一个$t\in Z$使得
$x+Mt\equiv a_k(mod{m}_k)$
即 $Mt\equiv a_k-x(mod{m}_k)$
对于这个式子我们已经可以通过扩展欧几里得求解
若该同余式无解，则整个方程组无解
若有，则前$k$个同余式组成的方程组的一个解解为$x_k=x+Mt$
所以整个算法的思路就是求解$k$次扩展欧几里得

模板题:洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N int(1e5+10)
#define reg register
typedef long long ll;
inline void read(ll &x){
    
    
	ll s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
    
    if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
    
    s=(s<<3)+(s<<1)+(ch&15);ch=getchar();}
	x=s*w;
}
inline ll slowmul(ll x, ll y, ll m){
    
    
	while(x<0)x+=m;
	while(y<0)y+=m;
	if(x<y)swap(x,y);
	ll ret=0;
	while(y){
    
    
		if(y&1)(ret+=x)%=m;
		(x<<=1)%=m,y>>=1;
	}
	return ret;
}
void Extended_Greatest_Common_Divisor(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    
    
	if(!b){
    
    x=1,y=0;return;}
	Extended_Greatest_Common_Divisor(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;
}
ll n,ai[N],bi[N];
ll Extended_Chinese_Remainder_Theorem(){
    
    
	ll x,y,a,b,c,M=bi[1],ans=ai[1],gcd;
	for(ll i=2;i<=n;i++){
    
    
		a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b,gcd=__gcd(a,b);
		if(c%gcd)return -1;
		a/=gcd,b/=gcd,c/=gcd;
		Extended_Greatest_Common_Divisor(a,b,x,y);
		x=slowmul(x,c,b),ans+=x*M,M*=b;
		ans=(ans%M+M)%M;
	}
	return ans;
}
int main(){
    
    
	read(n);
	for(reg ll i=1;i<=n;i++)read(bi[i]),read(ai[i]);
	printf("%lld\n",Extended_Chinese_Remainder_Theorem());
}

顺带一下中国剩余定理的模板题吧:
[TJOI2009]猜数字

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll slowmul(ll x, ll y, ll mod){
    
    
    if(x<0)x+=mod;if(y<0)y+=mod;
    if(y>x)swap(x,y);
    ll ret=0;
    while(y){
    
    
        if(y&1)(ret+=x)%=mod;
        (x+=x)%=mod,y>>=1;
    }
    return ret;
}
ll k,a[20],b[20],t[20];
void Extended_Greatest_Common_Divisor(ll n, ll m, ll &x, ll &y){
    
    
    if(!m){
    
    x=1,y=0;return;}
    Extended_Greatest_Common_Divisor(m,n%m,y,x);y-=(n/m)*x;
}
ll Chinese_Remainder_Theorem(){
    
    
    ll ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;i++)lcm*=b[i];
    for(int i=1;i<=k;i++){
    
    
        t[i]=lcm/b[i];
        Extended_Greatest_Common_Divisor(t[i],b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+slowmul(slowmul(t[i],a[i],lcm),x,lcm))%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}
int main(){
    
    
    scanf("%lld",&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%lld",&b[i]);
    printf("%lld\n",Chinese_Remainder_Theorem());
}