洛谷P4777【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

洛谷P4777【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

TITLE

思路

中国剩余定理CRT

$x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
$\dots \dots$
$x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$

$\gcd (m_i,m_j)=1,(i\ne j)$

扩展中国剩余定理EXCRT

$x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
$\dots \dots$
$x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$

$设x_i表示前i个式子的最小解,M_i=lcm(m_1,\dots \dots ,m_i),x_1=a_1,M_1=m_1$

$前i个式子的通解为x_i+t\ast m_i$

$那么对于加入第i个方程后的方程组$

$我们就是要求一个正整数t，使得$

$x_{i-1}+t\ast M_{i-1}\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)(i>1)$

$t\ast M_{i-1}\equiv a_i-x_{i-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)(扩展欧几里得EXGCD求t)$

$x_i=x_{i-1}+t\ast M_{i-1}$

$最小解为x_n，通解为x_n+t\ast M_n$

扩展欧几里得EXGCD求解

$t\ast M_{i-1}\equiv a_i-x_{i-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$

$M_{i-1}\ast t+m_i\ast k=a_i-x_{i-1}$

$当且仅当\gcd (M_{i-1},m_i)|a_i-x_{i-1}:有整数解$

$若\gcd (M_{i-1},m_i)\nmid a_i-x_{i-1}:无解，整个方程组无解$

$先求a\ast x+b\ast y=\gcd (a,b),a=M_{i-1},b=m_i$

$t=x\ast (a_i-x_{i-1})/\gcd (M_{i-1},m_i)$

$$a\ast x+b\ast y=\gcd (a,b)$$

$$\because \gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$

$$\because a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-\lfloor a/b\rfloor \ast b$$

$$设b\ast x^{\prime }+a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b\ast y^{\prime }=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)\ast y^{\prime }=\gcd (a,b)$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+a\ast y^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast y^{\prime }=a\ast x+b\ast y$$

$$令x=y^{\prime }$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+a\ast x-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast x=a\ast x+b\ast y$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast x=b\ast y$$

$$\therefore x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast x=y$$

$$\therefore y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$$

$$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$$

$$当b=0$$

$$a\ast 1+0\ast 0=\gcd (a,0)$$

$$x=1,y=0$$

CODE

#include<iostream> 
#include<cstdio>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    
    
	if(!b){
    
    x=1,y=0;return a;}
	long long ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long tmp=x;x=y,y=tmp-a/b*y;
	return ans;
}
long long lcm(long long x,long long y)
{
    
    
	long long a=x,b=y;
	for(long long r=a%b;r;a=b,b=r,r=a%b);
	return x/b*y;
}
long long slowmul(long long x,long long y,long long m)
{
    
    
	long long ans=0;
	x=(x%m+m)%m,y=(y%m+m)%m;
	if(x<y)swap(x,y);
	for(;y;x=(x<<1)%m,y>>=1)
		if(y&1)ans=(ans+x)%m;
	return ans;
}
pair<long long,long long> excrt(long long n,long long *a,long long *m)
{
    
    
	long long i,tmp,tem,ans=a[1],M=m[1],x,y;
	for(i=1;i<=n;i++)a[i]=(a[i]%m[i]+m[i])%m[i];
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		tmp=exgcd(M,m[i],x,y),tem=((a[i]-ans)%m[i]+m[i])%m[i];
		if(tem%tmp)return make_pair(i-1,0);
		ans+=slowmul(tem/tmp,x,m[i]/tmp)*M;
		M*=m[i]/tmp,ans=(ans%M+M)%M;
	}
	return make_pair(ans,M);
}
long long a[100010],m[100010];
int main()
{
    
    
	long long n,i;
	pair<long long,long long>ans;
	for(scanf("%lld",&n),i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
	ans=excrt(n,a,m);
	if(!ans.second)printf("NO SOLUTION\n");
	else printf("%lld\n",ans.first);
	return 0;
}