「P1562」还是 N 皇后

$N$ 皇后问题

Description

在 $N \times N$ 的方格棋盘放置 $N$ 个皇后，使得它们不相互攻击（即任意 $2$ 个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成 $45^\circ$ 角的斜线上）。
你的任务是，对于给定的 $N$，求出有多少种合法的放置方法。

Solution

一些定义

$row$ 皇后对其所在列的攻击，0表示所在列是安全的，1反之。
$left$ 皇后对其自左上角向右下的主对角线上的攻击，0表示所在主对角线是安全的，1反之。
$right$ 皇后对其自右上角向左下的副对角线上的攻击，0表示所在副对角线是安全的，1反之。
$free$ 综合上三种情况，所有列的情况，1表示所在列是安全的，0反之。
$first$ 从前往后，第一个安全的列，只有一个 1 表示安全，其余都是 0。

注意：$row,left,right$ 都是 $0$ 表示当前列安全（空闲）且都是递归的参数，而 $free,first$ 都是 $1$ 表示当前列能够放皇后，是在递归中的临时变量。

状压最大状态

左移的开始开始只有一个 $1$，设 $n=8$，为 100000000，然后减 $1$，借位，为 11111111。$(1<<n)-1$ 经常表示最大状态。

求 $￥$free$

所有列危险即 $row$ 都是 1，所以当 $row=(1<<n)-1$，回溯。

如果 $row,left,right$ 中任意个对第 $i$ 列攻击，那么第 $i$ 列危险即为 1。
因为要做到一个为真结果为真，所以取反$\sim row| left|right$，第 $i$ 个安全即为 1。但是，取反得到的答案是负数，所以 $free = ((1<<n)-1)\&(\sim row|left|right)$。

注意：取反一定要小心使用。对无符号数 $n$ 取反得到的是 $-(n+1)$，可以通过与上 $(1<<n)-1$转成正数。

求 $last$

如果$n\& \sim n$，结果为 $0$，那么$n\& \sim n+1$呢？

假设二进制数从前往后第一个 1 在 $pos$，那么 $pos$ 在取反之前为空或 0，取反之后为0（每次都把从前往后第一个安全的列放皇后，所以取到 $pos$ 时，$pos$ 之后的位置已经全为 0）。
取反后第一个 0 在 $pos$，之前为空或1，之后全为 1。对取反后的二进制加 $1$，由于 pos 之后全为 1，所以加 $1$ 的时候回往前进位，进位后 $pos$ 之后的位置全为 0,$pos$ 列已经接受到了后面传来的进位成为 1。
两个二进制数与后，$pos$前和 $pos$ 后全部 0 0 为 0。只剩下 $pos$ 一个位置 1 1 为 1，现在二进制数就是需要的 $first=free \& (\sim free + 1)$ 。
在将 $last$ 处理后，如何得到下一个 $last$ 呢？因为 $last$ 是根据 $free$ 得到的，所以需要进行更新。或运算是不可行的，因为 $1|0=0$，而原来所有在 $free$ 能放的位置在或运算后就不能放了。可以进行 $free\&= \sim last$ ，这样就成功更新了。

下一层递归

$row$ 如何进入下一层递归？当前已经将 $pos$ 列放上了皇后，那么如何将 $row$ 的 $pos$ 位改为 1 呢？因为 $row$ 与 $last$ 中 0 和 1 表示的意义正好相反，所以为 $row|last$ 。
$left$ 如何进入下一层递归？同样用更新 $row$ 的方法更新 $left$。但是因为对角线是呈$45^\circ$ 角倾斜的，这一列 $pos$ 位是 $0$，到了下一行，pos+1 一定是在 $pos+1$ 位的（如果存在）。所以为 $(left|last)>>1$。
$right$ 进入下一层递归的方法可参照 $left$ 进入下一层递归的方法，把右移改成左移即可。为$(right|last)<<1$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int INF;
void dfs(int row,int left,int right)
{
    if(row==INF)
    {
        ans++;
        return ;
    }
    int free=INF&~(row|left|right);
    while(free)
    {
        int last=free&((~free)+1);
        free&=~last;
        dfs(row|last,(left|last)>>1,(right|last)<<1);
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        INF=(1<<n)-1; ans=0;
        dfs(0,0,0);
        printf("%d\n",ans);
    } 
    return 0;
}

还是 $N$ 皇后

Description

有一个 $N \times N$ 的方格棋盘，有的位置是 *，表示能放置皇后；有的位置是.，表示不能放置皇后。需要放置 $N$ 个皇后，使得它们不相互攻击（即任意 $2$ 个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成 $45^\circ$ 角的斜线上）。
你的任务是，对于给定的 $N$，求出有多少种合法的放置方法。数据保证有解。

Solution

还是 $N$ 皇后与 $N$ 皇后问题的最大不同在于还是 $N$ 皇后会限制某几个方格不能放置皇后。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,INF;
int a[101];
char s[101];
void dfs(int row,int left,int right,int lev)
{
    if(row==INF)
    {
        ans++;
        return ;
    }
    int free=INF&~(row|left|right|a[lev]);
    while(free)
    {
        int last=free&((~free)+1);
        free&=~last;
        dfs(row|last,(left|last)>>1,(right|last)<<1,lev+1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n); INF=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s); 
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(s[j]=='.') a[i]|=(1<<j);
    }
    dfs(0,0,0,1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}