CQOI2009 循环赛
Description
\(n\) 队伍比赛，每两支队伍比赛一次，平 \(1\) 胜 \(3\) 负 \(0\).
给出队伍的最终得分，求多少种可能的分数表。
\(1 \leq n \leq 8\)。
Solution
每两个队伍进行一次比赛，显然一共进行了 \(\frac{n \times (n-1)}{2}\) 场比赛。
先讲暴搜：
- 我们枚举所有的比赛，是谁和谁打，情况怎么样。
- 我们枚举每个人的比赛情况，每一个人与他后面的人进行比赛（假设有 \(3\) 个人，那么枚举\(1 \ 2, \ 1 \ 3, \ 2 \ 3\)）。与上一个算法有质的改变，下面的算法都是在本算法基础上的改进。
下面开始剪枝：
数学剪枝：设胜场一共为 \(x\)，平局一共为 \(y\)，得分一共为 \(sum\)。有 \(x \times 3 + y \times 2 = sum\)，\(x + y = \frac{n \times( n + 1)}{2}\)。下面闲得没事解一下小学方程：
\[2 \times(x+ y) = n \times (n + 1)\]
\[n \times(n + 1) + x = sum\]
\[x = sum - n \times (n + 1)\]
\[y = \frac{\frac{n \times( n + 1)}{2} - 3 \times x} {2}\]
显然，我们胜场和平局都不能超过计算的。
可行性剪枝：如果当前的人无论怎么赢都打不到要求的分数就返回。假设当前与第 \(i\) 个人比赛，那么最多能赢 \((n - i + 1)\) 场。
最优性剪枝：如果一个人与他后面的人比赛完了，他的得分与题目给定的得分的不同就返回。如果比赛过程中某一场比赛让当前的得分大于了给定的得分，那么也返回。
搜索顺序剪枝：我们对输入的数据从大到小排序。感性理解一下，我们先算大的，大的状态多，状态多的早早就被我们的各种剪枝剪没了（不加会超时）。
卡卡常就过了。代码略，见下面的数据加强版。
HNOI2013 比赛
Description
\(n\) 队伍比赛，每两支队伍比赛一次，平 \(1\) 胜 \(3\) 负 \(0\).
给出队伍的最终得分，求多少种可能的分数表。
\(1 \leq n \leq 10\)。（注意数据范围）
Solution
这道题数据是经过加强的，原来的做法会超时。下面讲一个神奇的优化：记忆化搜索。
\(a \ b \ c \ d \ e \ f \ g\)
假设先搜索到了 \(d\)，我们确定了 \(abcd\) 的一种状态。现在的总方案数为 \(efg\) 的方案数。显然，\(abcd\) 的方案数是前面确定的，那么按照之前的算法，后面的方案数我们需要递归计算，这是没问题的，但是我们发现，\(abcd\) 的状态可能不只一种，我们在回溯回来更新 \(abcd\) 后，我们发现，我们又要进行一次对 \(defg\) 的搜索，我们在搜 \(abcde\) 的一种状态，需要 \(fg\) 的方案数 。
那么记忆化状态如何设计？因为 \(abcd\) 的状态不同，可能会导致 \(efg\) 的方案数不同。用初中学过的哈希解决，要离散化，这里用 unordered_map 。哈希前先排序。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define F first
#define S second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int N = 10 + 5, INF = 0x3f3f3f3f, Base = 28, p = 1e9 + 7;
inline int read() {
int X = 0,w = 0; char ch = 0;
while(!isdigit(ch)) {w |= ch == '-';ch = getchar();}
while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48),ch = getchar();
return w ? -X : X;
}
int n, m, sum, win, draw;
int a[N], b[N], score[N];
unordered_map <ll, int> mp;
bool cmp(int a, int b){
return a > b;
}
inline ll dfs(int x, int y){
if (score[x] + (n - y + 1) * 3 < a[x]) return 0;
if (x == n) return 1;
if (y == n + 1){
if (score[x] != a[x]) return 0;
for (int i = x + 1; i <= n; i++) b[i] = a[i] - score[i];
sort(b + x + 1, b + n + 1);
ll key = 0;
for (int i = x + 1; i <= n; i++) key = key * Base + b[i];
if (mp.find(key) != mp.end()) return mp[key];
else return mp[key] = dfs(x + 1, x + 2);
}
ll ans = 0;
if (win && score[x] + 3 <= a[x]){
score[x] += 3; win--;
ans += dfs(x, y + 1);
score[x] -= 3; win++;
}
if (draw && score[x] + 1 <= a[x] && score[y] + 1 <= a[y]){
score[x]++, score[y]++; draw--;
ans += dfs(x, y + 1);
score[x]--, score[y]--; draw++;
}
if (win && score[y] + 3 <= a[y]){
score[y] += 3; win--;
ans += dfs(x, y + 1);
score[y] -= 3; win++;
}
return ans % p;
}
int main(){
n = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), sum += a[i];
sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
win = sum - n * n + n;
draw = (sum - 3 * win) / 2;
printf("%lld\n", dfs(1, 2) % p);
return 0;
}