2-SAT问题学习笔记+例题[洛谷P4792]

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问题初入

什么是2-SAT

SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 k-SAT。

首先，把「2」和「SAT」拆开。SAT 是 Satisfiability 的缩写，意为可满足性。即一串布尔变量，每个变量只能为真或假。要求对这些变量进行赋值，满足布尔方程。

如何实现2-SAT

一道例题:洛谷P4782 2-SAT例题

首先将每个or的问题转换成假->真问题

然后跑缩点

因为缩点中跑出来的强连通分量的拓扑序已经在过程中求出（虽然是逆序），然后再判断一遍

当 x 所在的强连通分量的拓扑序在 ¬x 所在的强连通分量的拓扑序之后取 x 为真 就可以了。在使用 Tarjan 算法缩点找强连通分量的过程中，已经为每组强连通分量标记好顺序了不过是反着的拓扑序。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    ll k=1,sum=0;
    char c=getchar();
    for(;c<'0' || c>'9';c=getchar()) if(c=='-') k=-1;
    for(;c>='0' && c<='9';c=getchar()) sum=sum*10+c-'0';
    return sum*k;
}
const int N=1e6+10;
int n,m;
struct Edge{
    int to,nxt;
};
int head[N<<1],cnt;
Edge edge[N<<2];
inline void Add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;edge[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;
}
int dfn[N<<1],ins[N<<1],color[N<<1],low[N<<1],col;
bool vis[N<<1];
int id;
stack<int> S;
inline void Tarjan(int x){
    S.push(x);
    ins[x]=1;
    dfn[x]=low[x]=++id;
    for(re int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
        int y=edge[i].to;
        if(!dfn[y]){
            Tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        }
        else if(ins[y]) low[x]=min(low[x],low[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]) {
        re int k=-1;++col;
        while(k!=x){
            k=S.top();S.pop();
            ins[k]=0;
            color[k]=col;
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(re int k=1;k<=m;++k){
        int i=read(),a=read(),j=read(),b=read();
        Add(i+n*(a&1),j+n*(b^1));
        Add(j+n*(b&1),i+n*(a^1));
    }
    for(re int i=1;i<=n<<1;++i){
        if(!dfn[i]) Tarjan(i);
    }
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    if(color[i]==color[i+n]){
        puts("IMPOSSIBLE");
        return 0;
    }
    puts("POSSIBLE");
    for(re int i=1;i<=n;++i) {
        cout<<((color[i]<color[i+n])?1:0)<<" ";
    }
    return 0;
}