单调队列优化dp 入门 洛谷P2627 修剪草坪

https://www.luogu.org/problem/P2627

题意：给一个长度为nn的数组。现在让你选一些数，并且选的数中不能有在数组中长度超过kk的连续段。求选出的数的和的最大值。

分析：共三种解决方案。

Solution One

顺推.

令 dp[i][0] 表示在前 i 头奶牛中,选了第 i 头奶牛能获得的最大效率

dp[i][1] 表示在前 i 头奶牛中,不选第 i 头奶牛能获得的最大效率

显然可以得出以下转移方程 ( 注意 K 是题目给出的区间长度)

可以预处理出前缀和优化掉一重循环,转移方程就变成了如下所示

因为最终都要加上一个 Sum[i] ,所以可以把 Sum[i] 移到 max函数外,所以

这时候我们可以发现,要使 dp[i][1] 最大,我们就要让 dp[ j ][ 0 ]-Sum[ j ] 尽可能的大,所以只需要用一个单调队列维护长度为 K 的区间中 dp[ j ][ 0 ]-Sum[ j ]dp[ j ][ 0 ]−Sum[ j ] 的最大值就好了.

维护过程还要注意队列中初始就要设置一个val=0，ind=0 的元素表示不减少，然后每次都往单调队列里添加元素，而不是用 i >= K 后再往队列里加，否则会少掉不选前 K 个的最优解情况。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cmath>
 5 #include <cstring>
 6 using namespace std;
 7 
 8 typedef long long ll;
 9 const int maxn = 1e6+7;
10 ll a[maxn];
11 ll sum[maxn];
12 ll dp[maxn][2];
13 struct node{
14     int ind;
15     ll val;
16 }que[maxn];
17 
18 
19 int main(){
20     int n,k;
21     scanf("%d%d",&n,&k);
22     for(int i=1; i<=n; i++){
23         scanf("%d",a+i);
24         sum[i] = sum[i-1] +a[i];
25     }
26 
27     int head=0,tail=1;
28     que[0].val = 0;
29     que[0].ind = 0;
30     for(int i=1; i<=n; i++){
31         dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1] );
32 
33         while(head<tail && que[head].ind<=i-k-1) {head++;}
34         while(head<tail && que[tail-1].val<(dp[i][0]-sum[i]) ) tail--;
35         que[tail].val = dp[i][0]-sum[i];
36         que[tail++].ind = i;
37 
38         dp[i][1] = que[head].val+sum[i];
39         
40         // printf("ans=%lld\n", dp[i][1]);
41     }
42 
43     printf("%lld\n", max(dp[n][0],dp[n][1]));
44 }

Solution Two

Solution Three