杜教筛学习总结
前言
一直听说杜教筛非常nb，但关于它的学习一直被鸽= =但最近遇到太多数学题辣，所以不得不把这个坑填上了。
另外杜教筛可能需要一些前置知识，之前写过一篇关于莫比乌斯函数的，就顺便贴上来吧：传送门
正文
数论函数：我们平时遇到的一些特殊函数比如\(\varphi,\mu\)这种都属于数论函数。
积性函数：
定义：如果一个已知函数为数论函数，且\(f(1)=1\)，并且满足对于任意两个互质的\(p,q\)，有：\(f(p\cdot q)=f(p)\cdot f(q)\)，那么则称\(f\)为积性函数。特殊地，若对于任意两个数\(p,q\)，都有\(f(p\cdot q)=f(p)\cdot f(q)\)，那么就称这类函数为完全积性函数。
常见积性函数：
- \(\mu(n)\)——莫比乌斯函数，这是十分常见，需要对其性质有一定了解；
- \(\varphi(n)\)——欧拉函数，定义为\(1\)~\(n\)中与\(n\)互质的数的个数；
\(d(n)\)——约数个数，表示约数的个数。
- (完全积性函数):
- \(\varepsilon(n)\)——元函数，当\(n=1\)时其值为1，其余时候其值为0；
- \(I(n)\)——恒等函数，不论\(n\)为何值，其值恒等于1；
\(id(n)\)——单位函数，\(id(n)=n\)；
这几个完全积性函数看似较为简单，其实有着很大的用处。它们完全积性的性质也是很好证明的。
狄利克雷卷积：
定义：两个函数\(f(n),g(n)\)的狄利克雷卷积记为\((f*g)(n)\)，表达式等价于\(\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。前面的括号代表卷积对象，后面的括号代表卷积的范围。
性质：
狄利克雷卷积运算具有一些很有用的性质：
- 交换率：\(f*g=g*f\);
- 结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\);
- 分配律：\(f*(g+h)=f*g+f*h\).
另外还有比较重要的一个性质：
若\(f,g\)都为积性函数，那么\(f*g\)也为积性函数。
在杜教筛中，通过卷积来判断积性函数，是很常用的一个技巧。
另外对于我们上面所说的元函数\(\varepsilon\)，有\(\varepsilon*f=f\)，即元函数类似于单位1在乘法中的作用。
应用：
- 对于莫比乌斯函数\(\mu\)来说，有\(\mu*I=\varepsilon\)；
- 对于欧拉函数\(\varphi\)来说，有\(\varphi*I=id\).
以上两个表达式也就是这两个函数最常用的性质之一。通过它们也可以来证明一些东西：
比如对于莫比乌斯反演形式一来说，已知\(F=f*I\)，我们将其两边同时卷上\(\mu\)，那么等式就为\(F*mu=f*\varepsilon=f\)，即\(f=F*\mu\)。
是不是感觉证明一些就容易许多了？
还有对于\(\varphi*I=id\)，两边同时卷上\(\mu\)，那么就有\(\varphi=id*\mu=\sum_{d|n}d\mu(\frac{n}{d})\)。这个式子也是很有用的。
总之，熟练掌握\(\mu,\varphi\)以及狄利克雷卷积的性质是很有好处的。
杜教筛
前面都是一些前置知识，接下来就步入正题——杜教筛啦。
杜教筛主要就是用来在压线性时间\(O(n^{\frac{2}{3}})\)内求出积性函数的前缀和。是不是感觉很厉害？好吧，其实杜教筛也并非那么的神奇，往下看就知道了~
现在对于积性函数\(f\)，要求\(\sum_{i=1}^nf(i)\)，我们将其记为\(S(n)\)。
构造\(h=f*g\)，那么有：
\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^nh(i)=&\sum_{i=1}^nf*g\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&\sum_dg(d)\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})\\ =&\sum_dg(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\\ \end{aligned} \]
现在把第一项单独提出来，那么就有：
\[ \sum_{i=1}^nh(i)=g(1)\cdot S(n)+\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]
式子等价于：
\[ g(1)\cdot S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]
如果我们能够找到一个积性函数\(g\)，使得\(\sum_{i=1}^n(f*g)(i)\)这部分的前缀和能够快速求，而后面可以直接整除分块，那就能够起到加速的作用的。
举几个常见例子来说明吧：
- 求\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)。
我们知道:\(\mu*I=\varepsilon\)，而\(\varepsilon\)这个函数足够简单！是能够快速求和的，所以我们令\(g=\varepsilon\)，那么求和式子就能化为：
\[ S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]
对于后部分，整除分块处理即可。
- 求\(\sum_{i=1}^n\varphi(i)\)。
还是利用\(\varphi\)的性质，我们知道当它卷上\(I\)时，能够变成一个较简单的函数：\(id\)。这个是支持快速求和的，那么我们直接取\(g=I\)即可。
- 求\(\sum_{i=1}^ni\varphi(i)\)。
这个貌似就没有那么好处理了，假设现在有个\(g\)，我们将其卷积的形式表示出来：\(\sum_{d|n}(d\varphi(d))g(\frac{n}{d})\)。
注意观察这个式子，当\(g=id\)时，多处来的一个\(d\)能够被消去，并且剩余一个\(n\)可以提到外面去。
那么自然就会想到取\(g=id\)啦，这时\((f*g)(i)=i\sum_{d|n}\varphi(d)=i\)。
是不是感觉挺奇妙的，式子也变的很简单了。
- 求\(\sum_{i=1}^ni^2\varphi(i)\)。
跟上面同样的思路，先把卷积形式写出来，有：\(\sum_{d|n}d^2\varphi(d)g(\frac{n}{d})\)。
同样的，想到令\(g=id\)，就有：\(\sum_{i=1}^nf*g=\sum_{i=1}^ni^2\)，其实就是和上面同样的套路~
反正对于寻找\(g\)这一步，需要一定的观察力以及耐心，实在不行一个一个试就行了。
具体实现的话可以递归来实现，\(getsum(n)\)能够得到\(S(n)\)，然后递归处理即可。
证明的话可以用主定理来证，直接上杜教筛的话复杂度是\(O( n^{\frac{3}{4}})\)的，但我们可以先预处理出\(n^{\frac{2}{3}}\)的前缀和，那样复杂度就是\(O(n^{\frac{2}{3}})\)了。
可以加上一个记忆化的操作，可以更快一点，尤其是对于多组数据来说。
下面附上一个模板题的代码：
洛谷P4213
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e6 + 5;
int mu[N], p[N];
ll phi[N];
bool chk[N];
unordered_map <int, ll> mp1, mp2;
void init() {
mu[1] = phi[1] = 1;
int cnt = 0, k = N - 1;
for(int i = 2; i <= k; i++) {
if(!chk[i]) p[++cnt] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= k; j++) {
chk[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) {mu[i * p[j]] = 0; phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j]; break;}
mu[i * p[j]] = -mu[i]; phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
}
}
for(int i = 1; i < N; i++) mu[i] += mu[i - 1], phi[i] += phi[i - 1];
}
ll djs_mu(int n) {
if(n <= 5000000) return mu[n];
if(mp1[n]) return mp1[n];
ll ans = 1;
for(int i = 2, j; i <= n; i = j + 1) {
j = n / (n / i);
ans -= (j - i + 1) * djs_mu(n / i);
}
return mp1[n] = ans;
}
ll djs_phi(int n) {
if(n <= 5000000) return phi[n];
if(mp2[n]) return mp2[n];
ll ans = 1ll * (n + 1) * n / 2;
for(int i = 2, j; i <= n; i = j + 1) {
j = n / (n / i);
ans -= (j - i + 1) * djs_phi(n / i);
}
return mp2[n] = ans;
}
int n, T;
int main() {
init();
cin >> T;
while(T--) {
cin >> n;
ll ans1 = djs_mu(n);
ll ans2 = djs_phi(n);
cout << ans2 << ' ' << ans1 << '\n';
}
return 0;
}