总所周知,杜教筛是一个可以快速求积性函数前缀和的工具,为了快速理解杜教筛,自己给自己写了一个文章快速理解。
它可以在O(n2/3)的复杂度快速求出某个积性函数的前缀和。
例如,我们想要知道 f f f函数的前缀和,我们可以去找一个 g g g函数,可以O(1)求出前缀和的两个函数 g g g函数, f ∗ g f*g f∗g函数。
f ∗ g f*g f∗g函数中间的乘号代表迪利克雷卷积。
常见的迪利克雷卷积有
μ ∗ I = ϵ μ * I = ϵ μ∗I=ϵ
φ ∗ I = I d φ * I = Id φ∗I=Id
I d ∗ μ = φ Id * μ = φ Id∗μ=φ
μ μ μ、 ϵ ϵ ϵ、 φ φ φ分别代表莫比乌斯函数,单位元,欧拉函数。
I d Id Id、 I I I分别表示 I d ( n ) = n Id(n) = n Id(n)=n, I ( n ) = [ n = = 1 ] I(n) = [n == 1] I(n)=[n==1]
杜教筛的核心是什么呢?
由于 f ∗ g f*g f∗g函数是可以O(1)求出来的。
我们考虑对其分解
然后就得到了一个核心式子:
g ( 1 ) ∗ s u m ( n ) = ∑ ( f ∗ g ) ( n ) − ∑ g ( i ) ∗ s u m ( n / i ) g(1) * sum(n) = ∑(f * g)(n) - ∑g(i) * sum(n/i) g(1)∗sum(n)=∑(f∗g)(n)−∑g(i)∗sum(n/i)
我们发现后面有 n / i n/i n/i考虑对其数论分块即可。