序列分割「APIO 2014」

题意

给定一个序列，进行\(k\)次操作，每次操作将会分割序列。

对于每次操作，可以选择将任意一个区间在任意点分割开，得到左侧和乘以右侧和的收益。

求收益最大值。

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思路

子状态\(f[i][k]\)表示前\(i\)个数割\(k\)次最大收益。

推出方程为\(f[i][k]=max(f[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))\)

滚动一下可以去掉一维。

假设有决策点\(x,y\)且\(x\)优于\(y\)，那么可以化简得到\(\frac{f[x]-sum[x]^2-f[y]+sum[y]^2}{sum[y]-sum[x]}>sum[i]\)。斜率优化套一下即可。

//注意本题会有\(sum[x]==sum[y]\)的情况

\(end\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

    template<typename T>inline void read (T &x) {
        x=0;T f=1;char c=getchar();
        for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
        for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
        x*=f;
    }

    template<typename T>inline void write (T x) {
        if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
        if (x>=10) write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
    #define int long long
    
    const int N=100010;
    
    int n,k;
    int head,tail;
    int sum[N],dp[N],dp2[N],queue[N];//,pre[N][205];
    
    inline double slope (int x,int y) {
        if (sum[x]==sum[y]) return -1e18;
        return (double)(dp2[x]-sum[x]*sum[x]-dp2[y]+sum[y]*sum[y])/(double)(sum[y]-sum[x]);
    }

    inline void MAIN () {
        read(n),read(k);
        for (register int i=1; i<=n; ++i) {
            read(sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
        }
        for (register int t=1; t<=k; ++t) {
            head=tail=1,queue[head]=0;
            for (register int i=1; i<=n; ++i) {
                while (head<tail&&slope(queue[head],queue[head+1])<=sum[i]) ++head;
                dp[i]=dp2[queue[head]]+sum[queue[head]]*(sum[i]-sum[queue[head]]);
//              pre[i][t]=queue[head];
                while (head<tail&&slope(queue[tail-1],queue[tail])>=slope(queue[tail],i)) --tail;
                queue[++tail]=i;    
            }
            memcpy(dp2,dp,sizeof(dp));  
        }
        write(dp[n]),putchar('\n');
//      for (register int x=n,i=k; i>=1; --i) x=pre[x][i],write(x),putchar(' ');
    }
    
    #undef int
}

int main () {
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    Project::MAIN();
}