今天是杨思祺老师的讲授~
图论
双连通分量
在无向图中，如果无论删去哪条边都不能使得 u 和 v 不联通， 则称 u 和 v 边双连通；
在无向图中，如果无论删去哪个点（非 u 和 v）都不能使得 u 和 v 不联通，则称 u 和 v 点双连通。
u 到 v 的路径没有必经边和必经点。
割点：删去该点，图分裂为多个连通块。
割边：也叫 “ 桥 ”，删去该边，图分裂为多个连通块。
点双连通分量
类似地，定义 dfnu 和 lowu。 如果 v 是 u 的子结点，并且 lowv ≥ dfnu 则点 u 是割点，删去 点 u 后 v 子树和其它点不连通。 每个割点属于多个点双连通分量，非割点只属于一个点双连通分量。
边双连通分量
类似地，定义 dfnu 和 lowu。 如果 v 是 u 的子结点，并且 lowv > dfnu 则边 < u, v > 是割边。 每个点属于一个边双连通分量，边双连通分量之间以割边连接。
洛谷P3469 [POI2008]BLO-Blockade
在Byteotia有 n 个城镇。 一些城镇之间由无向边连接。 在城镇外没有十字路口，尽管可能有桥，隧道或者高架公路（反正不考虑这些）。每两个城镇之间至多只有一条直接连接的道路。人们可以从任意一个城镇直接或间接到达另一个城镇。 每个城镇都有一个公民，他们被孤独所困扰。事实证明，每个公民都想拜访其他所有公民一次（在主人所在的城镇）。所以，一共会有 n *（n-1）次拜访。
不幸的是，一个程序员总罢工正在进行中，那些程序员迫切要求购买某个软件。
作为抗议行动，程序员们计划封锁一些城镇，阻止人们进入，离开或者路过那里。
正如我们所说，他们正在讨论选择哪些城镇会导致最严重的后果。
编写一个程序：
读入Byteotia的道路系统，对于每个被决定的城镇，如果它被封锁，有多少访问不会发生，输出结果。
题解：
如果我们删去的不是割点，那么答案是 2 ( n-1 )（别人无法到自己，自己无法到别人）；
那如果我们删去的是割点，那么答案就是每个点双联通分量的大小的乘积 。（规模最大为 O ( n ) ）
POJ 3177
给定一个无向连通图，问添加几条边可以使它变成一个双连通图。
题解：
二分图
二分图
二分图：点黑白染色，邻点不同色。
二分图判定
如何判断一个给定的无向图是不是二分图？
从任意一点开始 BFS 或 DFS，起点不妨染色为白；
当前在 u 点时，尝试将所有邻点染为不同的颜色；
如果邻点已经染色且颜色不符，则不是二分图；
二分图的等价条件
无向图是二分图当且仅当其不包含奇环。
二分图匹配
匹配：选取一些边，使得任意两条边没有公共点（每个点至 多属于一条边）；
最大匹配：选取边数尽可能多；
完美匹配：所有点都在匹配中（每个点恰好属于一条边） ；
匹配边：选中的边；
非匹配边：没有选中的边；
匹配点：和选中边相连的点；
非匹配点：和选中边不相连的点；
常常将二分图的点画成两列；
二分图最大匹配
二分图最大匹配是一个常见问题。
匈牙利算法
网络流
匈牙利算法
理论基础 ：
交错路：从非匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边 ... ；
非匹配边恰好比匹配边多一个；然后我们交换非匹配边和匹配边就是使答案更优；
增广路：从非匹配点出发，结束于非匹配点的交错路；
增广路定理：任意一个非最大匹配的匹配一定存在增广路；
网络流
取额外的两个点作为源点和汇点；
源点向左边一列每个点连流量为 1 的边；
右边一列每个点向汇点连流量为 1 的边；
二分图中每条边从左向右连流量为 1 的边；
求最大流即可 。
网络流的最小割等于最大流。
最小顶点覆盖 Knoig 定理
二分图最小顶点覆盖数等于其最大匹配数。
POJ 3041 Asteroids
一个 N × N 的网格中，有 K 个大小为 1 × 1 的小行星，现在可以用激光枪每次消灭一行的小行星或者消灭一列的小行星。问最少需要使用多少次激光枪消灭所有的小行星。
题解：
每行为左边一点；
每列为右边一点；
每个小行星为一边；
选择最少的点覆盖所有边；
最小路径覆盖
给定有向图 G < V, E >。设 P 是 G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果 V 中每个顶点恰好在 P 的一条路上，则称 P 是 G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从 V 的任何一个顶点开始， 长度也是任意的，特别地，可以为 0 。G 的最小路径覆盖是 G 的 所含路径条数最少的路径覆盖。
最小路径覆盖 = |V| - 二分图最大匹配
二分图：将原图每个点拆分为入点和出点，如果原图存在 u 到 v 的边，则在 u 的出点和 v 的入点间连无向边。
BZOJ 2150 部落战争
lanzerb 的部落在 A 国的上部，他们不满天寒地冻的环境，于是准备向 A 国的下部征战来获得更大的领土。A 国是一个 M × N 的矩阵，其中某些地方是城镇，某些地方是高山深涧无人居住。 lanzerb 把自己的部落分成若干支军队，他们约定：
1. 每支军队可以从任意一个城镇出发，并只能从上往向下征战，途中只能经过城镇，可以在任意一个城镇停止征战。
2. 每个城镇只能被一支军队经过。
3. 行军方式类似国际象棋中的马，不过只能走 R × C 的路线。
lanzerb 的野心使得他的目标是统一全国，但是兵力的限制使得他们在配备人手时力不从心。假设他们每支军队都能顺利占领这支军队经过的所有城镇，请你帮 lanzerb 算算至少要多少支军队 才能完成统一全国的大业。
题解：
最小路径覆盖问题，转化成求最大二分图匹配。
差分约束
差分约束可以确定特定的不等式组是否存在解。
xi1 − xj1 ≤ a1
xi2 − xj2 ≤ a2
. . .
为每个变量 xi 建立一个点 pi。 # 如果要求 xi − xj ≤ a，则建立一条从 pj 到 pi 长度为 a 的边；
以任意一点为起点求单源最短路，则一定有 di − dj ≤ a 如果出现负环，则归结出形如 xi − xi < 0 的约束，不等式组无解。 如果没有负环，最短路算法得到的距离数组就是一组合法的解。
BZOJ 2330 糖果
幼儿园里有 N 个小朋友，lxhgww 老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，lxhgww 需要满足小朋友们的 K 个要求。幼儿园的糖果总是有限的，lxhgww 想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。 N ≤ 100000, K ≤ 100000 。
每个限制为三个整数：X, A, B。
如果 X = 1，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须和第 B 个小 朋友分到的糖果一样多；
如果 X = 2，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须少于第 B 个 小朋友分到的糖果；
如果 X = 3，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不少于第 B 个小朋友分到的糖果；
如果 X = 4，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须多于第 B 个 小朋友分到的糖果；
如果 X = 5，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不多于第 B 个小朋友分到的糖果；
题解：
易见每种限制都可以表示为差分约束形式的不等式。 因为每个小朋友得到的糖果数至少为 1，要求最少总糖果数，所 以设置超级源点，向每个点连长度为 1 的边，跑单源最长路即可。
BZOJ 1202 狡猾的商人
刁姹接到一个任务，为税务部门调查一位商人的账本，看看账本 是不是伪造的。账本上记录了 n 个月以来的收入情况，其中第 i 个月的收入额为 Ai ( i = 1,2,3...n-1,n)，。当 Ai 大于 0 时表示这个 月盈利 Ai 元，当 Ai 小于 0 时表示这个月亏损 Ai 元。所谓一段时间内的总收入，就是这段时间内每个月的收入额的总和。刁姹的任务是秘密进行的，为了调查商人的账本，她只好跑到商人那里打工。她趁商人不在时去偷看账本，可是她无法将账本偷出来，每次偷看账本时她都只能看某段时间内账本上记录的收入情况，并且她只能记住这段时间内的总收入。现在，刁姹总共偷看了 m 次账本，当然也就记住了 m 段时间内的总收入，你的任务是根据记住的这些信息来判断账本是不是假的。
题解：
以 Si 表示 Ai 的前缀和，则每个限制形如 Su − Sv = k，将其拆分为两个不等式：
Su − Sv ≤ k
Su − Sv ≥ k 即 Sv − Su ≤ −k 差分约束后如果出现负环，则信息有假（会出现 Si - Si < 0 的情况）。
当然，对于这种全部为等式的差分约束问题，用 DFS 或 BFS 判 断即可，不需要应用最短路算法。
BZOJ 4500 矩阵
有一个 n × m 的矩阵，初始每个格子的权值都为 0，可以对矩阵 执行两种操作：
1. 选择一行，该行每个格子的权值加 1 或减 1。
2. 选择一列，该列每个格子的权值加 1 或减 1。 现在有 K 个限制，每个限制为一个三元组 ( x , y , c )，代表格子 ( x , y ) 权值等于 c。问是否存在一个操作序列，使得操作完后的矩 阵满足所有的限制。如果存在输出 ” Yes ”，否则输出 ” No ”。
题解：
建立 n 个点，a1, a2, . . . , an，代表每一行的操作效果。 建立 m 个点，b1, b2, . . . , bm，代表每一列的操作效果。 对于限制 ( x , y , c )，强制 ax + by = c 即可，可以视为一条边。
DFS 或 BFS 判断即可。