直线的倾斜角斜率和直线方程

前言

倾斜角斜率

直线方程

典例剖析

高阶例题

例1 过点\(P(2，1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，

（1）当\(\triangle AOB\)的面积最小时，求直线\(l\)的方程；

分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，

则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-1=k(x-2)\)，

则点\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；

则\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)

\(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)

当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立，

故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\).

（2）当\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程；