两直线垂直，斜率乘积为-1的证明

老早以前在学习初等函数的时候，线性函数中的两直线y = m0x + b0, y = m1x +b1如果垂直，则有结论两条直线的斜率乘积为-1即m0*m1 = -1，以前也只是拿来用，没有证明过。最近在学图形学的时候，突然想起了这个点，因此记一篇笔记，证明一下。

如上图所示，有两条直线： $y_0 = m_0x + b_0$ 和 $y_1 = m_1x + b_1$ ，它们相互垂直。这里可以得到一个隐含的条件是： $m_0 \neq m1$ (斜率相等，y轴截距不同的两条直线是平行的，垂直的话则斜率不等)。

图中两条直线的交点的坐标，我们可以通过求解方程得到，交点的y是相同的，因此我们有：

$m_0x + b_0 = m_1x + b_1$

求解得到交点的x坐标为： $\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1}$ ,

将x分别代入y0和y1,得到交点的y坐标分别为：

$\frac{m_0(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} + b_0$ 和 $\frac{m_1(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} + b_1$ ，这两个值是相等的

因此，图中三个关键的点坐标如下：

直线y0在y轴的交点A坐标为(0,b0)

直线y1在y轴的交点B坐标为(0,b1)

两直线交点C坐标为 $(\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1}, \frac{m_0(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} + b_0) , (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1}, \frac{m_1(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} + b_1)$ 这两个坐标对应同一个点。

由于两条直线垂直，由勾股定理可知，斜边AB距离的平方 = 直角边AC距离的平方 + 直角边BC距离的平方。

根据两点之间的距离公式，可以得到下面的等式：

AB的距离的平方 = $(b_1 - b_0)^2$

AC的距离的平方 = $(\frac{m_0(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2$ (用C的第一种形式做距离计算，可以减掉b0)

BC的距离的平方 = $(\frac{m_1(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2$ （用C的第二种形式做距离计算，可以减掉b1）

根据勾股定义，可得：

$(b_1 - b_0)^2 = (\frac{m_0(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2 + (\frac{m_1(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2$

整理一下，得到：

$(b_1 - b_0)^2 = \frac{m_0^2(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2} + 2\frac{(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2}) + \frac{m_1^2(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2}$

约掉(b1- b0)^2，整理得到：

$(m_0 - m_1)^2 = m_0^2 + 2 + m_1^2$

展开平方差：

$m_0^2 + m_1^2 - 2m_0m_1 = m_0^2 + m_1^2 + 2$

整理得到

$-2m_0m_1 = 2$ , 因此 $m_0m_1 = -1$

两直线垂直，斜率乘积为-1的证明

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