最小树形图小结

最小有向生成树（最小树形图）指的是这样一个问题：

• 给出一张有向带权图\(G\)和其中一个节点\(rt\)，找出一个以\(rt\)为根节点，权值最小的有向生成树，其中有向生成树满足如下条件：
• • \(rt\)的入度恰好为\(0\)
  • 其它节点的入度均为\(1\)
  • 可以从根节点到达其它所有节点

求解最小树形图一般使用的是朱刘算法，流程大致如下：

（1）给所有非根节点选一条边权最小的入边，将这些边权加入答案中

（2）如果所有选择的边没有形成环，那么结束，当前累计的答案和就是最终结果

（3）否则把所有的环缩成一个点，该点会继承内部所有点的入边和出边。但是要注意，接下来的过程中如果要选取一条继承过来的边，那么这条边的边权应减去之前的原来的最短入边的边权。大概意思就是假设你现在要选择一条新的边来代替原来的某一条边，但是由于之前这条被替换的边已经被记入答案了，于是要减去这部分已经被记入答案的大小

模板题：luogu4716

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
const int N=10000;
const db pi=acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define sqr(x) (x)*(x)
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define fir first
#define sec second
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pb(a) push_back(a)
#define maxd 998244353
#define eps 1e-8
struct node{int u,v,w;}sq[10010];
int n,m,rt,cnt=0,fa[110],mind[110],id[110],vis[110];
ll ans=0;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return x*f;
}

ll work()
{
    while (1)
    {
        rep(i,1,n)
        {
            id[i]=0;vis[i]=0;mind[i]=maxd;
        }
        rep(i,1,m)
            if ((sq[i].u!=sq[i].v) && (mind[sq[i].v]>sq[i].w))
            {
                fa[sq[i].v]=sq[i].u;mind[sq[i].v]=sq[i].w;
            }
        mind[rt]=0;cnt=0;
        rep(i,1,n)
        {
            if (mind[i]==maxd) return -1;
            ans+=mind[i];int u=i;
            while ((u!=rt) && (vis[u]!=i) && (!id[u]))
            {
                vis[u]=i;u=fa[u];
            }
            if ((u!=rt) && (!id[u]))
            {
                id[u]=(++cnt);int v=fa[u];
                while (v!=u) {id[v]=cnt;v=fa[v];}
            }
        }
        if (!cnt) return ans;
        rep(i,1,n) if (!id[i]) id[i]=(++cnt);
        rep(i,1,m)
        {
            int mn=mind[sq[i].v];
            sq[i].u=id[sq[i].u];sq[i].v=id[sq[i].v];
            if (sq[i].u!=sq[i].v) sq[i].w-=mn;
        }
        n=cnt;rt=id[rt];
    }
}

int main()
{
    n=read();m=read();rt=read();
    rep(i,1,m)
    {
        sq[i].u=read();sq[i].v=read();sq[i].w=read();
    }
    printf("%lld",work());
    return 0;
}