好像是一个OI中应用不是很多（不要打脸）的算法
算法
朱刘算法了解一下本文就是讲这个的......
其实主要是我调了很久一道题，然后发现一个智障错误然后过来写博客
算法主要解决有向图最小生成树问题.
定义
在一个有向图中选择一些有向边集构建一颗树，然后使这棵树的边权和最小。
就是根确定的“最小有向生成树”。
前面的东西
Q:如何判断存在性？
A:直接拿着根跑dfs即可。
Q:复杂度？
A:$O(VE)$
我们认为根$Root$一开始已经给定（后面会将没给定的特殊情况）。
记边权为$w$
一下的证明不一定会严谨......
算法
首先我们需要清除自环，因为存在自环的话会使复杂度增高但又没有意义。
操作一
对于除根以外的所有点选定一条入边，该条入边是所有入边中权值最小的一条。
定理一
上面的操作之后如果没有环的话那么就是最小树形图。
证明：
如果不是最小树形图的话那么一定存在一条边可以替代原有的边，但是由于原图已经是一棵树，所以替换一条边只可能：
- 破坏树的结构
- 换到了一条更大的边
所以并没有可以换的边。
然后如果没有环的话那么就直接跑路输出答案（等下介绍缩了环之后的答案怎么计算），如果有呢？
如果存在一个环的话，那么我们这样做缩环：
操作二
这一操作命名为缩环（自己瞎BB的）。
令环上任意一点$u$，指向它的有向边为$v$点，令$u$和$v$之间的边的边权为$ind[u]$，然后我们新建了一个节点$p$代替这个环，并且与外界有如下联系：
对于点$u$的入边（起点为$s$）连接$s$到$p$，边权为$w-ind[u]$
对于点$u$的出边（起点为$t$）连接$p$到$t$，边权为$w$
例如下面这幅比较原谅的图，假设所有绿色的点为新点$p$所代表的点。左上角的连边说明了一个实例。
定理二
对于上面的操作，当前这一层的最小树形图=缩环后的最小树形图+环内权值
证明（解释为什么要在缩环的时候换边权）：
由于生成树要求每一个点都要走到，包括环内的点，所以最后的答案肯定长成这张图的样子，即$x$条路径（图中的红色边和蓝色路径，$x=2$）覆盖了这个环（没有考虑这种事会不会发生，反正不会发生那就只有一条路径更易证）。我们发现环内的$x$条边肯定是走不到的，也就是图中的黄色边，也就是$v$到$u$的边，边权为$ind[u]$。也就是说如果有一条路径从$u$进入了这个环，那么环内$v$到$u$的边就会不在生成树中。
所以我们只需要在入边的$w$上减去$ind[u]$即可保证这条的排名以及在最终对答案产生的贡献正确。
最后我们只需要递归地跑算法即可。
复杂度组成
每次找最小边$O(E)$，缩点$O(V)$，更新边$O(E)$，由于删掉了自环，所有每次至少删掉一个点，所以递归层数$O(V)$
总复杂度$O(VE)$
后面的东西
如果我这个虾皮出题人没有指定根怎么办？让你去枚举根？
那么我们可以建立虚拟根$root$（小写），然后向每个点连出$S>\Sigma{W_i}$的边，然后再跑，最后答案减去S即可。
但是有一种情况就是发现减了之后答案还是大于$S$，那么这说明原图不连通（因为如果连通的话肯定算法不会智障到去选边权为S边）
然后我们找到的最小边的和$root$相连的点就是最小根。
例题
Luogu P2792 [JSOI2008]小店购物
题意
就是去交易买东西，一些货物有原价，如果你先买$x$货物然后再买$y$货物搞不好就有优惠
（
）。
你需要为每一种物品不多不少选$k_i$件。
题解
考虑到如果我们选择最优方案，那么只有第一个物品是需要考虑折扣的，后面的物品可以直接选取最便宜的。
首先统计后面优惠价的所有答案。
我们为每一个物品都开一个节点，然后再开一个$root$， 从$root$向物品连边，权值为原价
然后对于每一对优惠$x$对$y$，从$x$向$y$连边，边权为折扣价。
最后跑一边算法然后累加到原来的答案内即可。
一开始我的板子出了一个非常......的错误，然后调了几年，然后又被卡精度......
代码如下：
1 #include <cstdio> 2 #include <cctype> 3 #include <cassert> 4 #include <cstring> 5 6 #include <fcntl.h> 7 #include <unistd.h> 8 #include <sys/mman.h> 9 10 //User's Lib 11 12 using namespace std; 13 14 char *pc; 15 16 inline void Main_Init(){ 17 static bool inited = false; 18 if(inited) fclose(stdin), fclose(stdout); 19 else { 20 #ifndef ONLINE_JUDGE 21 freopen("b.in", "r", stdin); 22 freopen("b.out", "w", stdout); 23 #endif 24 pc = (char *) mmap(NULL, lseek(0, 0, SEEK_END), PROT_READ, MAP_PRIVATE, 0, 0); 25 inited = true; 26 } 27 } 28 29 static inline int read(){ 30 int num = 0; 31 char c, sf = 1; 32 while(isspace(c = *pc++)); 33 if(c == 45) sf = -1, c = *pc ++; 34 while(num = num * 10 + c - 48, isdigit(c = *pc++)); 35 return num * sf; 36 } 37 38 static inline double read_dec(){ 39 double num = 0, decs = 1; 40 char c, sf = 1; 41 while(isspace(c = *pc ++)); 42 if(c == '-') sf = -1, c = *pc ++; 43 while(num = num * 10 + c - 48, isdigit(c = *pc ++)); 44 if(c != '.') return num * sf; 45 c = *pc ++; 46 while(num += (decs *= 0.1) * (c - 48), isdigit(c = *pc ++)); 47 return num * sf; 48 } 49 50 namespace LKF{ 51 template <typename T> 52 extern inline T abs(T tar){ 53 return tar < 0 ? -tar : tar; 54 } 55 template <typename T> 56 extern inline void swap(T &a, T &b){ 57 T t = a; 58 a = b; 59 b = t; 60 } 61 template <typename T> 62 extern inline void upmax(T &x, const T &y){ 63 if(x < y) x = y; 64 } 65 template <typename T> 66 extern inline void upmin(T &x, const T &y){ 67 if(x > y) x = y; 68 } 69 template <typename T> 70 extern inline T max(T a, T b){ 71 return a > b ? a : b; 72 } 73 template <typename T> 74 extern inline T min(T a, T b){ 75 return a < b ? a : b; 76 } 77 } 78 79 //Source Code 80 81 const int MAXN = 111; 82 const int MAXM = 555; 83 const int INF = 0x3f3f3f3f; 84 85 int n, m; 86 int ind[MAXN], pre[MAXN], id[MAXN], vis[MAXN]; 87 struct Edge{ 88 int u, v, w; 89 Edge(){} 90 Edge(int _u, int _v, int _w) : u(_u), v(_v), w(_w){} 91 }edge[MAXM]; 92 93 inline int MA(){ 94 int ret = 0, root = n, num; 95 while(true){ 96 memset(ind, 0x3f, sizeof(ind)); 97 for(int i = 1; i <= m; i++) 98 if(edge[i].u != edge[i].v && ind[edge[i].v] > edge[i].w) 99 ind[edge[i].v] = edge[i].w, pre[edge[i].v] = edge[i].u; 100 for(int i = 1; i <= n; i++) 101 if(i != root && ind[i] == INF) 102 return -1; 103 memset(id, -1, sizeof(id)), memset(vis, -1, sizeof(vis)); 104 num = ind[root] = 0; 105 for(int i = 1; i <= n; i++){ 106 int v = i; 107 ret += ind[i]; 108 while(vis[v] != i && v != root) 109 vis[v] = i, v = pre[v]; 110 if(v != root && id[v] == -1){ 111 id[v] = ++ num; 112 for(int j = pre[v]; j != v; j = pre[j]) 113 id[j] = num; 114 } 115 } 116 if(!num) return ret; 117 for(int i = 1; i <= n; i++) 118 if(id[i] == -1) 119 id[i] = ++ num; 120 for(int i = 1; i <= m; i++){ 121 int ori = edge[i].v;//ori 122 edge[i].u = id[edge[i].u], edge[i].v = id[edge[i].v]; 123 if(edge[i].u != edge[i].v) edge[i].w -= ind[ori]; 124 } 125 n = num, root = id[root]; 126 } 127 } 128 129 int cost[MAXN], ks[MAXN], pos[MAXN]; 130 131 inline void Re(int &tar){ 132 if(tar % 10 != 0){ 133 tar ++; 134 //printf("%d\n", tar); 135 } 136 } 137 138 int main(){ 139 Main_Init(); 140 n = read(); 141 for(int i = 1, j = 1; i <= n; i++, j++){ 142 Re(cost[i] = double(read_dec()) * 100.0), ks[i] = read(); 143 if(!ks[i]) i --, n --; 144 else ks[i] --, pos[j] = i; 145 } 146 n ++; 147 for(int i = 1; i < n; i++) 148 edge[++ m] = Edge(n, i, cost[i]); 149 int t = read(); 150 for(int i = 1; i <= t; i++){ 151 int x = pos[read()], y = pos[read()], w; 152 Re(w = double(read_dec()) * 100.0); 153 if(!(x && y)) continue; 154 LKF::upmin(cost[y], w); 155 edge[++ m] = Edge(x, y, w); 156 } 157 int ans = 0; 158 for(int i = 1; i < n; i++) 159 ans += cost[i] * ks[i]; 160 int ret = MA(); 161 assert(ret != -1); 162 printf("%.2lf", (ret + ans) / 100.0); 163 Main_Init(); 164 return 0; 165 }
参考文献|资料：
我也找不到原论文，算法是由朱永津与刘振宏提出的，对此表示敬意。
图是自己画的......