【学习笔记】Floyd的妙用
1.最短路计数
单纯的最短路计数，事实上也能通过\(SPFA\)实现。而求两点之间经过某个点的最短路路径数，实现可以用两次\(SPFA\)。假若时间复杂度允许，亦可用下面介绍的方法，代码较为简单。
这道题是多源最短路，所以用\(floyd\)实现求最短路。
设\(f[i][j]\)为\(i\)到\(j\)最短路长度，\(s[i][j]\)为最短路径数。对于一点\(k\)，如果\(f[i][k]+f[k][j]=f[i][j]\)，则经过该点的最短路径条数为\(s[i][k]\times s[k][j]\)。
2.经过\(k\)条边
对于诸如求两点之间经过\(k\)条边的最短路长度/路径数的问题，用\(dij/SPFA\)较难实现，这时候可以尝试使用\(floyd\)。下面通过例题介绍。
P2886 [USACO07NOV]牛继电器Cow Relays
在本题中，用\(SPFA\)直接求空间会爆，只能考虑使用\(floyd\)求经过\(1\le K\le k\)条路径的最短路。\(k\)如此大以至于会\(TLE\)。于是我们可以通过倍增解决。
BTW，本题也可以通过矩阵快速幂解决，详情请见info___tion的blog
3.最小环
\(floyd\)可以求无向图和有向图的最小环。
对于在有向图中，求经过第\(i\)个点的最小环，我们可以把\(f[i][i]= \infin\)，跑一遍\(floyd\)，则最小环为\(f[i][i]\)。
而在无向图中，方法与上面的大致相同，不过要注意：不能重复走同一条边，枚举边即可以解决。
对于上面的例题，我们还需要用叉积判断是否所有点都在边的同一边，再根据实际情况建单向边，详情看大佬题解
4.图的传递闭包
===预留====
总结
\(floyd\)不仅可以求多源最短路，也可以求一些base on最短路的问题。不过由于其时间复杂度较大，需要谨慎使用