USACO 2019 February Contest Platinum T1: Cow Dating

题目大意

由于目前可供奶牛们使用的约会网站并没有给Farmer John留下深刻印象，他决定推出一个基于新匹配算法的奶牛交友网站，该算法可基于公牛和母牛间的共同兴趣对公牛和母牛进行匹配。

Bessie在寻找情人节Barn Dance的合作伙伴时，决定试用这个网站。在注册账户之后，FJ的算法为他给出了一个长度为 N(1≤N≤1e6) 的匹配列表，列表上每头公牛接受她舞蹈邀请的概率为 p (0 < p < 1)。

Bessie决定向列表中的一个连续区间内的奶牛发送邀请，但Bessie希望恰好只有一个奶牛接受邀请。请帮助Bessie求出恰好只有一个奶牛接受邀请的最大概率是多少。

题目分析

令 p_i ​ 表示第i个位置是1的概率，那么1~i 这 i 个数都不选的概率 s_i ​= ∏ⁱ_k=1​ (1−p_k​) , 1~i 中只选 i 这个数的概率为 s_i * t_i​  ( t_i​=∑ⁱ_k=1 (1−p_k) / ​p_k​​)

那么显然把只选区间 [ l, r ] 中一个数的答案加起来得区间的答案为​ s_r/s_l-1​ ​(t_r​−t_l−1​)

固定右端点r，直观感觉到随着l的左移，乘积第二项变大，乘积第一项变小。

那么总的答案为 (1-p₁)(1-p₂)..(1-p_n) * ( p₁/(1-p₁) + p₂/(1-p₂) + ... + p_n/(1-p_n) )

我们可以发现，右端点的取值是单调递增的

于是，我们可以极限一下，用一个双指针法，类似于队列。

记录两个变量，表示和 与 积即可。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int MAXN=1e6+10;
 4 typedef long double ld;
 5 
 6 int n;
 7 ld a[MAXN],ans,pro,sum;
 8 inline int read(){
 9     int x=0,f=1;char ch=getchar();
10     while(ch<'0'||ch>'9'){
11         if(ch=='-') f=-1;
12         ch=getchar();
13     }
14     while(ch>='0'&&ch<='9'){
15         x=x*10+ch-48;
16         ch=getchar();
17     }
18     return x*f;
19 }
20 
21 int main(){
22     n=read();
23     for(int i=1;i<=n;++i){
24         a[i]=(ld)read();
25         a[i]/=1e6;
26         ans=max(ans,a[i]);
27     }
28     pro=1;sum=0;
29     int j=1;//i,j双指针。i左j右
30     for(int i=1;i<=n;++i){
31         while(j<=n&&pro*sum<pro*(1-a[j])*(sum+a[j]/(1-a[j]))){
32             pro*=(1-a[j]);
33             sum+=a[j]/(1-a[j]);
34             ++j;
35         }
36         //cout<<i<<' '<<j<<endl;
37         ans=max(ans,pro*sum);
38         pro/=(1-a[i]);
39         sum-=a[i]/(1-a[i]);
40     }
41     printf("%d\n",(int)(ans*1e6));
42     return 0;
43 }