2019牛客多校第一场

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E：ABBA（贪心+DP)

• 题意：就是有\(n\)个＂AB＂,\(m\)个＂BA＂，问能结合成多少个序列．这个要求是AB和BA的顺序不变，即A和B的相对位置不变．我们要讨论一下什么才是合法的状态．

• 贪心：
  • 假设只有\(n​\)个AB，合法情况是每个B前面要有\(1 ...n​\)个Ａ
  • 假设除了有AB，还有\(m\)个BA，那每个B前面可以有超过\(n\)个A，但是第一个B前面还是要有\(1...n\)个A．否则就会使BA类型的某个B后面没A．
  • B与后面的A可以构成BA，相当于抵消了一个A，那下一个B前面就只需要有\(1...n​\)未被抵消的A．
  • 所以A-B小于等于\(n\)是合法的．当A-B等于\(n\)，意味着最后一个只能是A，因为如果最后一个是B，那B前面就有\(n+1\)个未被抵消的A．
  • A前面有多少个B也是同理．

• DP

  • \(dp[i][j]\)，\(i\)代表A的个数，\(j\)代表B的个数．\(dp\)值代表合法方案．

  • 初始化，按照上述每个A前面有\(1...m\)个B是合法，每个B前面有\(1...n\)个A是合法

  • \(dp[i][0]=dp[0][j]=1\)

  • 不考虑那么多，可以得出
    \[ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1] \]

  • 但是要排除非法的情况

    • \(0\leq j-i\leq m\)和\(0\leq i-j \leq n\) 是合法情况
    • 注意\(=m\)和\(=n\)和\(=0\)的情况

• 还是想说，浩哥天下第一

• 代码

  #include <bits/stdc++.h>
  
  #define ll long long
  using namespace std;
  const ll mod = 1e9 + 7;
  const ll N = 1e5 + 10;
  ll dp[2010][2010];
  
  int main() {
      ll n, m;
      while (scanf("%lld%lld", &n, &m) != EOF) {
          ll cnt = (n + m);
          for (int i = 0; i <= cnt; i++)
              for (int j = 0; j <= cnt; j++)
                  dp[i][j] = 0;
          for (ll i = 0; i <= cnt; i++) {
              dp[i][0] = dp[0][i] = 1;
          }
          for (ll i = 1; i <= cnt; i++) {
              for (ll j = 1; j <= cnt; j++) {
                  if (i == j) {
                      if (n)
                          dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - 1]) % mod;
                      if (m)
                          dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod;
                  } else if (j > i) {
                      if (j - i < m)
                          dp[i][j] = ((dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod + dp[i][j - 1]) % mod;
                      else if (j - i == m)
                          dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - 1]) % mod;
                  } else if (i > j) {
                      if (i - j < n)
                          dp[i][j] = ((dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod + dp[i][j - 1]) % mod;
                      if (i - j == n)
                          dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod;
                  }
                  //cout<<i<<" "<<j<<" "<<dp[i][j]<<endl;
              }
          }
          printf("%lld\n", dp[cnt][cnt] % mod);
      }
  
      return 0;