还贷的那些事IV——等增额还贷的计算

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　　前文介绍了还贷的基本知识，以及“等本还贷的计算”和“等额还贷的计算”。这两种贷款是目前银行推出的贷款方式，虽然有部分银行推出了“周周贷”等贷款，这也是这两种贷款的衍生。

　　纵观这两种的贷款，都有一个明显的特点，就是每月的还款额是不增长的（等本还贷是每月递减的；等额还贷是每月不变的）。但这种特点，似乎不能满足一些人的需要。

　　例如，某位工作一定年限的青年，有了一点积蓄，准备买房。他就矛盾了，是贷多一点吗？目前的收入解决不了每月的还贷。贷少一点，买不到合适的房子。由于他每年的薪水都在稳步的增长，因此，他希望银行能提供一种还贷额随着月数的增长而增长的贷款。目前，银行没有提供这种贷款，但是实际计算上是可行的。这就是我说的等增额贷款，每月的还款额较上月增加一个固定值。这样，在初期收入不是很高的情况下，能多贷一点，后期收入上去后，再多还一点。

　　还是先定义变量，以及变量之间的关系。

　　1　　　　　　　　　　初始本金（广义上的本金，实际乘以一个倍数就可以了）

　　P　　　　　　　　　　利率。（一般指月利率，计算方式为年利率÷12）

　　N　　　　　　　　　　期数。（还款的次数，如贷款10年，则N=120）

　　Y_m　　　　　　　　　第m期还款额

　　X_m　　　　　　　　　第m期还款额中的本金

　　S_m　　　　　　　　　第m期还款额中的利息

　　T_m　　　　　　　　　第m期后剩余的本金

　　Q　　　　　　　　　　每月增加的还款额

　　由上面的定义可知，上面的变量之间是有关联的，满足下列式子

　　　　1≤m≤N

　　　　Y_m=X_m+S_m　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　T₀=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　　T_N=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

　　　　S_m=T_m-1×P　　　　　　　　　　　　　　　　④

　　　　T_m=T_m-1-X_m　　　　　　　　　　　　　　　⑤

　　　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1　　　　　　　　　　⑥

　　下面推导等增额还贷的每月还款额

　　　　由定义可知：

　　　　∵　　Y_m+1=Y_m+Q

　　　　∴　　X_m+1+S_m+1=X_m+S_m+Q

　　　　∴　　X_m+1+(1-X₁-X₂-……-X_m-1-X_m)P=X_m+(1-X₁-X₂-……-X_m-1)P+Q

　　　　∴　　X_m+1-X_mP=X_m+Q

　　　　∴　　X_m+1=X_m(1+P)+Q

　　　　　　令Q=-PG，则G=-Q/P

　　　　∴　　X_m+1=X_m(1+P)-PG

　　　　∴　　X_m+1-G=X_m(1+P)-PG-G=(X_m-G)(1+P)

　　　　∴　　(X_m+1-G)/(X_m-G)=1+P

　　　　∴　　X_m-G=(X₁-G)(1+P)^m-1

　　　　∴　　X_m=(X₁-G)(1+P)^m-1+G　　　　　　　　①

　　　　∵　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1

　　　　∴　　(X₁-G)+G+(X₁-G)(1+P)+G+(X₁-G)(1+P)²+G+……+(X₁-G)(1+P)^N-1+G=1

　　　　∴　　(X₁-G)((1+P)^N-1)/((1+P)-1)+NG=1

　　　　∴　　X₁-G=(1-NG)P/((1+P)^N-1)

　　　　∴　　代入①式得

　　　　　　　X_m=(1-NG)P/((1+P)^N-1)(1+P)^m-1+G

　　　　∴　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　∴　　X₁=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　∴　　Y₁=X₁+S₁=X₁+P=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P

　　　　∴　　Y_m=Y₁+(m-1)Q=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q

　　　　所以每月的还款额为(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q

　　　　其中本金(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　补充说明一下，当Q取不同的值时，就能转化为前两种还贷方式。

　　　　1、当Q=-P/N时，此时

　　　　　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P=1/N

　　　　　　Y_m=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q=(1+(N-m+1)P)/N

　　　　　　此时，就变成了等本还贷的公式

　　　　2、当Q=0时，此时

　　　　　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P=P(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)

　　　　　　Y_m=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q=P(1+P)^N/((1+P)^N-1)

　　　　　　此时，就变成了等额还贷的公式

　　　　下面以例子为说明

　　　　举例说明。贷款本金：10万元；贷款年限：10年；利率：5.31% ；每月多还5元；

　　　　P=5.31%÷12=0.004425；N=120；Q=5/100000=0.00005

月数

还款余额

还款本金

还款利息

月还款额

99637.76

362.24

442.50

804.74

99268.92

368.84

440.90

809.74

98893.45

375.47

439.26

814.74

98511.31

382.14

437.60

819.74

98122.48

388.83

435.91

824.74

97726.94

395.55

434.19

829.74

97324.64

402.30

432.44

834.74

96915.56

409.08

430.66

839.74

96499.68

415.89

428.85

844.74

96076.95

422.73

427.01

849.74

95647.35

429.60

425.14

854.74

95210.85

436.50

423.24

859.74

94767.42

443.43

421.31

864.74

94317.03

450.39

419.35

869.74

93859.64

457.39

417.35

874.74

93395.23

464.41

415.33

879.74

92923.77

471.46

413.27

884.74

92445.21

478.55

411.19

889.74

91959.55

485.67

409.07

894.74

91466.73

492.82

406.92

899.74

90966.73

500.00

404.74

904.74

90459.52

507.21

402.53

909.74

89945.06

514.46

400.28

914.74

89423.33

521.73

398.01

919.74

88894.29

529.04

395.70

924.74

88357.91

536.38

393.36

929.74

87814.15

543.76

390.98

934.74

87262.99

551.16

388.58

939.74

86704.39

558.60

386.14

944.74

86138.32

566.07

383.67

949.74

85564.74

573.58

381.16

954.74

84983.63

581.11

378.62

959.74

84394.94

588.69

376.05

964.74

83798.65

596.29

373.45

969.74

83194.72

603.93

370.81

974.74

82583.12

611.60

368.14

979.74

81963.81

619.31

365.43

984.74

81336.76

627.05

362.69

989.74

80701.94

634.82

359.92

994.74

80059.31

642.63

357.11

999.74

79408.83

650.48

354.26

1004.74

78750.47

658.35

351.38

1009.74

78084.21

666.27

348.47

1014.74

77409.99

674.22

345.52

1019.74

76727.79

682.20

342.54

1024.74

76037.57

690.22

339.52

1029.74

75339.30

698.27

336.47

1034.74

74632.94

706.36

333.38

1039.74

73918.45

714.49

330.25

1044.74

73195.80

722.65

327.09

1049.74

72464.95

730.85

323.89

1054.74

71725.87

739.08

320.66

1059.74

70978.52

747.35

317.39

1064.74

70222.86

755.66

314.08

1069.74

69458.86

764.00

310.74

1074.74

68686.47

772.38

307.36

1079.74

67905.67

780.80

303.94

1084.74

67116.42

789.26

300.48

1089.74

66318.67

797.75

296.99

1094.74

65512.39

806.28

293.46

1099.74

64697.54

814.85

289.89

1104.74

63874.09

823.45

286.29

1109.74

63041.99

832.10

282.64

1114.74

62201.22

840.78

278.96

1119.74

61351.72

849.50

275.24

1124.74

60493.46

858.26

271.48

1129.74

59626.40

867.06

267.68

1134.74

58750.51

875.89

263.85

1139.74

57865.74

884.77

259.97

1144.74

56972.06

893.68

256.06

1149.74

56069.42

902.64

252.10

1154.74

55157.79

911.63

248.11

1159.74

54237.13

920.67

244.07

1164.74

53307.39

929.74

240.00

1169.74

52368.53

938.85

235.89

1174.74

51420.53

948.01

231.73

1179.74

50463.32

957.20

227.54

1184.74

49496.88

966.44

223.30

1189.74

48521.17

975.72

219.02

1194.74

47536.14

985.03

214.71

1199.74

46541.75

994.39

210.35

1204.74

45537.95

1003.79

205.95

1209.74

44524.72

1013.23

201.51

1214.74

43502.00

1022.72

197.02

1219.74

42469.76

1032.24

192.50

1224.74

41427.95

1041.81

187.93

1229.74

40376.53

1051.42

183.32

1234.74

39315.46

1061.07

178.67

1239.74

38244.69

1070.77

173.97

1244.74

37164.18

1080.51

169.23

1249.74

36073.90

1090.29

164.45

1254.74

34973.78

1100.11

159.63

1259.74

33863.81

1109.98

154.76

1264.74

32743.91

1119.89

149.85

1269.74

31614.07

1129.85

144.89

1274.74

30474.22

1139.85

139.89

1279.74

29324.33

1149.89

134.85

1284.74

28164.35

1159.98

129.76

1289.74

26994.24

1170.11

124.63

1294.74

100

25813.95

1180.29

119.45

1299.74

101

24623.44

1190.51

114.23

1304.74

102

23422.66

1200.78

108.96

1309.74

103

22211.56

1211.09

103.65

1314.74

104

20990.11

1221.45

98.29

1319.74

105

19758.25

1231.86

92.88

1324.74

106

18515.95

1242.31

87.43

1329.74

107

17263.14

1252.81

81.93

1334.74

108

15999.79

1263.35

76.39

1339.74

109

14725.85

1273.94

70.80

1344.74

110

13441.27

1284.58

65.16

1349.74

111

12146.01

1295.26

59.48

1354.74

112

10840.02

1305.99

53.75

1359.74

113

9523.25

1316.77

47.97

1364.74

114

8195.65

1327.60

42.14

1369.74

115

6857.18

1338.47

36.27

1374.74

116

5507.78

1349.40

30.34

1379.74

117

4147.41

1360.37

24.37

1384.74

118

2776.03

1371.39

18.35

1389.74

119

1393.57

1382.45

12.28

1394.74

120

1393.57

6.17

1399.74

　　作为一个收入稳定增长的青年，还是希望银行能提供这种还贷方式，也能更好的解决个人住房问题。

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还贷的那些事IV——等增额还贷的计算

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