排序 —— 基数排序

一、算法思想

基数排序的算法思想是“多关键字排序”，包括”最高位优先法“和”最低位优先法“两种方法

• 最高位优先法（MSD）：先对最高位关键字k1（如百位）排序，将序列分成若干子序列，每个子序列有相同的k1值；然后让每个子序列对次关键字k2（如十位）排序，又分成若干更小的子序列；依次重复，直至就每个子序列对最低位关键字kd排序；最后将所有子序列依次连接在一起成为一个有序序列

• 最低位优先法（LSD）：从最低位关键字kd起进行排序，然后再对高一位的关键字排序，…依次重复，直至对最高位关键字k1排序后，便成为一个有序序列

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二、算法过程

通过基数排序对数组{53, 3, 542, 748, 14, 214, 154, 63, 616}，它的示意图如下：

在上图中，首先将所有待比较数值统一为统一位数长度，接着从最低位开始，依次进行排序。

1. 按照个位数进行排序。
2. 按照十位数进行排序。
3. 按照百位数进行排序。

排序后，数列就变成了一个有序序列。

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三、算法性能分析

（1）时间复杂度

• $r_d$ 是关键字的基的个数，这里的基指的是构成关键字的符号，如关键字为数值时，构成关键字的符号就是 0~9 这些数字，以供由十个，即 $r_d=10$
• $n$ 是序列中的关键字的个数
• $d$ 是序列中的关键字的位数

基数排序每一趟都要进行“分配”和“收集”

• “分配”需要顺序扫描整一个数列，执行次数为 n
• “收集”是对每一个桶进行的，桶的个数即关键字的基的个数，执行次数为 $r_d$
• 关键字有多少位，就说明需要进行多少躺“分配”和“收集”，故需要将前述执行次数乘以 d

故时间复杂度为 $O( d*(r_d+n))$，而基数排序时间复杂度和初始序列无关，即平均时间复杂度、最好时间复杂度、最坏时间复杂度均为 $O( d*(r_d+n))$

（2）空间复杂度

因为每个桶实际上时一个队列，需要头尾指针，共有 $r_d$个桶，所以需要 $2r_d$个存放指针的空间，因此是 $O(r_d)$

（3）稳定性

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以其是稳定的排序算法。