题目描述
短发pinga野郞有一棵 \(N\) 个节点的有根树，其中 \(1\) 号节点为根。
现在她想在这棵树上进行一种奇妙的游戏。游戏开始时，她会在其中一些节点（至少两个）上摆放一个棋子。在游戏的每个回合中，她会将所有棋子移动到父亲节点上（如棋子位于根节点则不移动）。移动完所有棋子后，如果有两个棋子位于同一个节点，游戏结束，否则进行下一回合直到游戏结束。
定义游戏的有趣程度为游戏结束前进行的总回合数。现在，pinga野郞想知道，对于所有可能的 \(2^N-N-1\) 种初始摆放方案，游戏的有趣程度之和是多少。请你将答案对 \(998244353\) 取模后输出。
\(N \le 2e5\)
首先转换成\(> k\)的方案数
考虑除了在根节点相遇的，所有相遇的节点深度相同。
对于一个\(k\)，显然一个点的\(k\)级祖先对这些点的限制最紧，即我们可以对于每个节点统计距离它深度为\(j\)的儿子，然然后这些节点中最多选择一个。
可以用长链剖分做距离它深度为\(j\)的儿子个数，但是发现长链处的贡献没法暴力for。
可以发现每一个dp值（这里定义为一个位置一段时间的dp值）会贡献到的\(k\)是一段区间，下界可以直接记下（更新的时间），上界既是它被弹出的时间。
根节点特判。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
inline int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int qpow(int a,int b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
inline int qinv(int x){return qpow(x,mod-2);}
/* math */
const int N = 4e5+5;
int n,ans[N];
int hed[N],to[N],nxt[N],cnt,len[N],ls[N];
inline void adde(int u,int v){
++cnt;to[cnt]=v,nxt[cnt]=hed[u];hed[u]=cnt;
}
int multag[N];
inline void push(int l,int r,int sum){
++sum;
multag[l]=mul(multag[l],sum),multag[r+1]=mul(multag[r+1],qinv(sum));
}
inline void predfs(int x,int pre){
ls[x] = 0;
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];if(v==pre)continue;
predfs(v,x);
if(len[ls[x]] < len[v]+1) ls[x] = v;
}
len[x] = len[ls[x]]+1;
}
struct data{
int siz,intime;
data(int a=0,int b=0):siz(a),intime(b){}
};
void dfs(int x,int pre,data *f){
if(ls[x]) dfs(ls[x],x,f+1);
f[0].siz = 1;f[0].intime = 0;
vector<data> cur;
for(int e=hed[x];e;e=nxt[e]){
int v=to[e];if(v==pre||v==ls[x])continue;
data *g = new data[len[v]];
for(int i=0;i<len[v];i++) g[i] = data(0,0);
dfs(v,x,g);
while((int)cur.size()<len[v])cur.push_back(data(0,0));
for(int i=0;i<len[v];i++) {
cur[i].siz += g[i].siz;
push(g[i].intime,i,g[i].siz);
}
}
for(size_t i=1;i<=cur.size();i++){
push(f[i].intime,i-1,f[i].siz);
f[i].intime = i;
f[i].siz += cur[i-1].siz;
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i=0;i<=n+1;i++)multag[i]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){;
int u=i,v;scanf("%d",&v);
adde(u,v),adde(v,u);
}
predfs(1,0);
data *f = new data[len[1]];
for(int i=0;i<len[1];i++)f[i]=data(0,0);
dfs(1,0,f);
for(int i=1;i<len[1];i++)
push(f[i].intime,i-1,f[i].siz);
int cursz=0;
for(int i=0;i<len[1];i++){
cursz += f[i].siz;
push(i,i,cursz);
}
for(int i=len[1];i<=n+2;i++)
push(i,i,cursz);
ans[0]=multag[0];
for(int i=1;i<=n+1;i++)
ans[i] = mul(ans[i-1],multag[i]);
int ret=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
ret=add(ret,mul(i+1, sub(ans[i],ans[i+1])));
cout << ret << endl;
}