设
表示
连线的斜率,
表示第
个关键点。
给出一个结论:
。假设该结论成立,那么就有
。
考虑证明这个结论。假设
,如果
,那么直接把
接到
上就减少了长度而且答案不变;如果
,因为
看不到
所以
,又因为
看不到
,所以
,然后就矛盾了。
那么可以把高度先下降
,再持平
的一段看成非负分数
,那么问题转化成找到一个最长的递增分数序列使得
。可以发现一定存在一种最优方案使得
,所以只需要把其中的最简分数按分母从小到大排序然后贪心选择即可。(实测对于
,存在方案使得
)
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define pii pair<int,int>
#define fs first
#define sc second
#define MP make_pair
#define N 1000010
using namespace std;
int n,m,h[N],top,tot;
pii a[N],ans[N];
int gcd(int x,int y)
{
for(int t;y;t=y,y=x%y,x=t);
return x;
}
bool cmp1(pii p,pii q)
{
return p.sc<q.sc;
}
bool cmp2(pii p,pii q)
{
return p.fs*q.sc>p.sc*q.fs;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=min(n,200);i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
if(gcd(i,j)==1) a[++m]=MP(j,i);
sort(a+1,a+m+1,cmp1);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(tot+a[i].sc<n) tot+=a[i].sc,ans[++top]=a[i];
sort(ans+1,ans+top+1,cmp2);
int pnt=n;
for(int i=1;i<=top;i++)
{
for(int j=1;j<=ans[i].sc-ans[i].fs;j++)
pnt--,h[pnt]=0;
for(int j=1;j<=ans[i].fs;j++)
pnt--,h[pnt]=1;
}
for(int i=n;i>=0;i--)
h[i]+=h[i+1];
printf("%d\n",top+1);
for(int i=0;i<=n;i++)
printf("%d ",h[i]);
return 0;
}