BZOJ 3144: [Hnoi2013]切糕最小割

title

Input
第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。
100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

Output

仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

Sample Input

2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6

Sample Output

6

HINT

最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1

analysis

未写此题，先闻其声，切糕模型。

这道题其实就是把原先做过的二维情况搞成了三维情况，所以可以看成一层一层的矩阵之间相互连边，所以才有这种连边：
对于任何一个 $1\leq i\leq P,1\leq j\leq Q,1\leq k\leq R$ ，由 $(i,j,k-1)$ 向 $(i,j,k)$ 连一条容量为 $(i,j,k)$ 的不和谐值的边。

我是学黄学长的连边方式的，这样写，就不用单独再连源点的边了，嗯？那汇点呢，自然，把最后一层的矩阵和汇点相连即可，这些边的容量为 $INF$ 。

对于本题的关键点，考虑光滑限制，发现对于任意一个在同一平面上距离为 $1$ 的两个点对 $(i,j),(x,y)$ ，其实只要限制 $f(i,j)-f(x,y)\leq D$ 就可以了（因为如果有存在 $f(i,j)-f(x,y)<-D$ ，那么一定有 $f(x,y)-f(i,j)>D$ ，自然不符合条件）。

怎样限制这个条件呢？可以发现，我们的目标其实就是让 $f(i,j)-f(x,y)>D$ 时， $S$ 仍然可以到达 $T$ 。也就是对于任意一个在同一平面上距离为 $1$ 的两个点对 $(i,j),(x,y)$ ，对于任何一个 $D< k\leq R$ ，由 $(i,j,k)$ 向 $(x,y,k-D)$ 连一条容量为 $INF$ （割不掉）的边。

最后跑个最大流即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dx[]={0,0,1,-1},dy[]={1,-1,0,0};
const int maxn=1e5+10,maxm=1e6+10,inf=0x3f3f3f3f;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
	if (!x) { putchar('0'); return ; }
	if (x<0) putchar('-'), x=-x;
	T num=0, ch[20];
	while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
	while (num) putchar(ch[num--]);
}

int ver[maxm<<1],edge[maxm<<1],Next[maxm<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y,int z)
{
	ver[++len]=y,edge[len]=z,Next[len]=head[x],head[x]=len;//打成了head[x]=len，真。。
	ver[++len]=x,edge[len]=0,Next[len]=head[y],head[y]=len;
}

int s,t;
int dist[maxn];
inline bool bfs()
{
	queue<int>q;
	memset(dist,0,sizeof(dist));
	q.push(s),dist[s]=1;
	while (!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
		{
			int y=ver[i];
			if (edge[i] && !dist[y])
			{
				dist[y]=dist[x]+1;
				if (y==t) return 1;
				q.push(y);
			}
		}
	}
	return 0;
}

inline int get(int x,int low)
{
	if (x==t) return low;
	int tmp=low;
	for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
	{
		int y=ver[i];
		if (edge[i] && dist[y]==dist[x]+1)
		{
			int a=get(y,min(tmp,edge[i]));
			if (!a) dist[y]=0;
			edge[i]-=a;
			edge[i^1]+=a;
			if (!(tmp-=a)) break;
		}
	}
	return low-tmp;
}

int P,Q,R,D;
inline int hash(int i,int j,int k)
{
	if (!k) return 0;
	return (k-1)*P*Q+(i-1)*Q+j;//三维点坐标映射成编号
}

int f[45][45][45];
inline void build()
{
	for (int i=1; i<=P; ++i)
		for (int j=1; j<=Q; ++j)
		{
			for (int k=1; k<=R; ++k)
			{
				add(hash(i,j,k-1),hash(i,j,k),f[i][j][k]);//第k-1层向第k层的矩阵切割，这样写是为了把源点s=0加到图中
				if (k>D)//2.只要限制f(i,j)-f(x,y)≤D就可以了
					for (int l=0; l<4; ++l)
					{
						int x=i+dx[l],y=j+dy[l];//1.任意一个在同一平面上距离为1的两个点对(i,j),(x,y)
						if (x<1 || y<1 || x>P || y>Q) continue;//3.那么目标其实是让f(i,j)-f(x,y)>D时，S仍然可以到达T
						add(hash(i,j,k),hash(x,y,k-D),inf);//4.连一条容量为INF(割不掉)的边
					}
			}
			add(hash(i,j,R),t,inf);//最后一层连向汇点
		}
}

int main()
{
	read(P);read(Q);read(R);read(D);
	for (int i=1; i<=R; ++i)
		for (int j=1; j<=P; ++j)
			for (int k=1; k<=Q; ++k) read(f[j][k][i]);
	s=0,t=P*Q*R+1;
	build();
	int ans=0;
	while (bfs()) ans+=get(s,inf);//跑最小割
	write(ans);
	return 0;
}