关于图形学中图像的一阶导数和二阶导数求法

对于图像求一阶导数和二阶导数可以增强图片或者求图像的边缘。

一阶导数：

我们知道在数学中一阶导数的求法为:

                                                                             

在图形学中由于图片是按像素来离散组成的，所以最小的h取值为1，所以计算后：

                                                                           

所以图像的一阶导数就是图像亮度的变化率，对于一个灰度图像，他的一阶导数计算如下：

灰度图像矩阵：
a b c
d e f
g h i
那么对于中心像素e：
dx＝f-e（或者f-d）
dy＝h-e（或者h-i）
当然如果用sobel算子的话
dx＝（c+2f+i）-（a+2d+g）
dy＝（g+2h+i）-（a+2b+c）

所以在图像边缘检测中，sobel算子的卷积因子为：

可以看出这个卷积因子其实就是sobel算子求图像一阶导数。

二阶导数：

                                                                

所以当h=1时：

                                                                 

这时可以化简：

这一步在数学中推导为（数学差的我看了一上午才看懂）：

令x=x-1 
则： 

在x和y方向上，有： 

把x方向和y方向的二阶导数结合在一起：

这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子（Laplacian），拉普拉斯二阶导数还有其它的形式，例如：

所以 Laplacian算子的卷积因子有以下两种：