图像二阶导数的推导

版权声明：无需授权，可任意转载。 https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/78990520

前面我们介绍过了图像的梯度，以及图像的几个梯度算子。

这些本质上都是一阶导数，或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数，能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数，有没有二阶导数呢？求导数的导数，这对灰度变化强烈的地方会更敏感。

在微积分中，一维函数的一阶微分的基本定义是这样的：

$$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0 }{\frac{f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}$$

那么，二阶微分的基本定义就是这样的：

$$\frac{d^2f}{dx^2}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0 }{\frac{f'(x+\epsilon )-f'(x)}{\epsilon }}$$

而图像是一个二维函数f(x,y)，其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见，我们先按x方向的一维函数来推导：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0 }{\frac{f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}$$

图像是按照像素来离散的，最小的$\epsilon$就是1像素。因此有：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=f'(x)=f(x+1)-f(x)$$
那么二阶微分就是：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)$$

根据上面的一阶微分，则：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)$$

$$=f((x+1)+1)-f((x+1))-(f(x+1)-f(x))$$
$$=f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x)$$
$$=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$$

令x=x-1
则：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$$

于是，在x和y方向上，有：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)$$
$$\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)$$

我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$$

这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子（Laplacian）。我们看一下实际效果。

import cv2
import numpy as np

moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
row, column = moon.shape
moon_f = np.copy(moon)
moon_f = moon_f.astype("float")

two = np.zeros((row, column))

for x in range(1, row - 1):
    for y in range(1, column - 1):
        two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
                    + moon_f[x - 1, y] \
                    + moon_f[x, y + 1] \
                    + moon_f[x, y - 1] \
                    - 4 * moon_f[x, y]

sharp = moon_f - two
sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
sharp = sharp.astype("uint8")

cv2.imshow("moon", moon)
cv2.imshow("sharp", sharp)
cv2.waitKey()

输出结果：

我们可以看到，图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。

需要注意，将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候，必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号，而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号，与中心点f(x,y)的系数有关，这个定义的拉普拉斯二阶导数中，f(x,y)的系数是-4，是负的，原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像；拉普拉斯二阶导数还有其它的形式，例如：

$$Laplacian = 4f(x,y)-f(x+1,y)-f(x-1,y)-f(x,y+1)-f(x,y-1)$$

这时f(x,y)的系数是正的，原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。

到这里，我们已经注意到，前面介绍图像一阶导数时，用的是绝对值，而二阶导数就没有使用绝对值，且需要考虑系数的正负符号问题，才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像，为什么是这样？这个下一篇再探讨。