一、关系数据结构及形式化定义

1.1关系

1.1.1域

1.1.2笛卡尔积

一、关系数据结构及形式化定义

关系模型由关系数据结构，关系操作集合，关系完整性约束三部分组成

1.1关系

单一的数据结构——关系

现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示

逻辑结构——二维表

从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表

1.1.1域

定义：一组具有相同数据类型的值的集合

例如：自然数，整数，长度小于25字节的字符串集合，{1，0}等

1.1.2笛卡尔积

1、笛卡尔积

给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的

D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn ＝｛ (d1，d2，…，dn)｜di $\in$ Di，i＝1，2，…，n｝

它是所有域的所有取值的一个组合，且不能重复

2、元组

笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组或简称元组

3、分量

笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量

4、基数

若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：

5、笛卡尔积的表示方法

笛卡尔积可表示为一张二维表。表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域

1.1.3关系

1、关系

D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的关系，表示为R（D1，D2，…，Dn）R：关系名，n：关系的目或度

2、元组

关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示

3、单元关系与二元关系

当n=1时，称该关系为单元关系或一元关系

当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）

4、关系的表示

关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域

5、属性

关系中不同列可以对应相同的域
为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性
n目关系必有n个属性

6、码

① 候选码

若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码。简单的情况：候选码只包含一个属性

② 全码

最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码

③ 主码

若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）

④ 主属性

候选码的诸属性称为主属性，不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性或非码属性

7、三类关系

① 基本关系（基本表或基表）

实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示

② 查询表

查询结果对应的表

③ 视图表

由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

8、基本关系的性质

① 列是同质的

② 不同的列可出自同一个域

其中的每一列称为一个属性
不同的属性要给予不同的属性名

③ 列的顺序无所谓,，列的次序可以任意交换

④ 任意两个元组的候选码不能相同

⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换

⑥ 分量必须取原子值

1.2关系模式

关系模式是型，关系是值。关系模式是对关系的描述

元组集合的结构

属性构成
属性来自的域
属性与域之间的映象关系

完整性约束条件

关系模式可以形式化地表示为：

R（U，D，DOM，F）

R 关系名

U 组成该关系的属性名集合

D U中属性所来自的域

DOM 属性向域的映象集合

F 属性间数据的依赖关系的集

关系模式通常可以简记为 R (U) 或 R (A1，A2，…，An) R: 关系名，A1，A2，…，An : 属性名

关系模式与关系

关系模式

对关系的描述

静态的、稳定的

关系

关系模式在某一时刻的状态或内容

动态的、随时间不断变化的

二、关系的完整性

包括实体完整性，参照完整性和用户定义的完整性

实体完整性，参照完整性称为关系的两个不变性

实体完整性

规则：若属性A是基本关系R的主属性，则A不能取空值。空值即“不存在”、“不知道”或“无意义”的值

例如，学生（学号，姓名，性别，专业，年龄）关系中学号是主码，则学号不能取空值

说明

针对基本关系而言
现实世界中的实体是可区分的，但它们具有某种唯一性标识
关系模型中以主码作为唯一性标识
主码中的主属性不能取空值

参照完整性

外码

设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码；如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码，并称基本关系R为参照关系，基本关系S为被参照关系或目录关系

关系R和S不一定是不同的关系

目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上

外码并不一定要与相应的主码同名

规则：若属性（或属性组）F是基本关系R的外码，它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须：

或者取空值（F的每个属性值均为空值）
或者等于S中某个元组的主码值

三、关系操作与关系代数

3.1关系操作

关系模型中常用关系操作包括查询操作和插入、修改、删除操作两部分

查询是关系操作中最主要的部分，其中选择、投影、并、差、笛卡尔积是5种基本操作，其余操作可由它们定义导出

关系操作的对象和结果都是集合

3.2关系代数

运算对象和运算结果都是关系

3.2.1传统的集合运算

设关系 R和 S，它们具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），相应的属性取自同一个域

1、并

R∪S 结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成 R∪S = { t | t $\in$ R∨t $\in$ S }

2、差

R - S 结果仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成 R - S = { t | t $\in$ R∧t $\notin$ S }

3、交

R∩S 结果仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R ∩ S = { t | t $\in$ R∧t $\in$ S } = R - (R - S）

4、笛卡尔积

严格地讲是广义的笛卡尔积

R: n目关系，k1个元组

S: m目关系，k2个元组

R×S

列：（n+m）列元组的集合

元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组

行：k1×k2个元组

R×S = { $\widehat{tr ts}$ |tr $\in$ R ∧ ts $\in$ S }

3.2.2专门的关系运算

1、选择

又称限制

选择运算符的含义

在关系R中选择满足给定条件的诸元组

σF(R) = { t | t $\in$ R∧F(t)= '真'}

F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”

基本形式为：X θ Y

θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>

选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

2、投影

从R中选出若干属性列组成新的关系

πA(R) = { t[A] | t $\in$ R } A：R中的属性列

投影操作是从列的角度进行的运算

投影操作不仅取消了原关系中的某些列，还可能取消某些元组（因为取消某些属性列后可能出现重复行，自然去掉重复的）

3、连接

也称 $\Theta$ 连接，是在两个关系的笛卡尔积中进行选择操作

连接运算的含义

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

R $\Join$ S = { $\widehat{tr ts}$ | tr $\in$ R∧ts $\in$ S∧tr[A] θ ts[B] }

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组

θ：比较运算符

连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

连接运算有两种

等值连接：从两个关系的笛卡尔积中选取属性值(一般是两个)相等的元组
自然连接：特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，且在结果中去掉重复列（等值连接的表合并重复的属性列即可）

一般的连接操作从行的角度进行运算；自然连接还要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算

悬浮元组

两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组

外连接

如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接

左外连接只保留左边关系R中的悬浮元组
右外连接只保留右边关系S中的悬浮元组

4、除运算

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组

R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集

P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：

元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

R÷S={tr[X]|tr $\in$ R∧πY(S) $\in$ Yx}

Yx：x在R中的象集，x = tr[X]

除操作是同时从行和列角度进行运算

~~by 云烟成雨yycy~~

数据库——关系数据库

一、关系数据结构及形式化定义

1.1关系

1.1.1域

1.1.2笛卡尔积

1.1.3关系

1.2关系模式

二、关系的完整性

实体完整性

参照完整性

三、关系操作与关系代数

3.1关系操作

3.2关系代数

3.2.1传统的集合运算

3.2.2专门的关系运算

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