数据库复习笔记----关系数据库

关系数据库

简介：提出关系模型的是美国IBM公司的E.F.Codd1970年提出关系数据模型E.F.Codd, “A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks”, 《Communication of the ACM》,1970之后，提出了关系代数和关系演算的概念，1972年提出了关系的第一、第二、第三范式，1974年提出了关系的BC范式。

一、关系数据结构及形式化定义
1.关系
★单一的数据结构----关系
—现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示
★逻辑结构----二维表
—从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表
★建立在集合代数的基础上
1.1 域（Domain）
定义：域是一组具有相同数据类型的值的集合。例:

• 整数
• 实数
• 介于某个取值范围的整数
• 指定长度的字符串集合
• {‘男’，‘女’}
  等等…

1.2 笛卡尔积（Cartesian Product）
（1）含义：给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝ ｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝
注意：
★— 所有域的所有取值的一个组合
★— 不能重复

（2）元组（Tuple）
**定义：**笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组
—★(刘备，计算机专业，赵云)
—★(刘备，计算机专业，马超) 等 都是元组。 （备注：导师 --专业 --研究生）

（3）分量（Component）
定义：笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量，张清玫、计算机专业、李勇、刘晨等都是分量

（4）基数（Cardinal number）
若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：

（5）笛卡尔积的表示方法
★笛卡尔积可表示为一张二维表
★表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域
例如，给出3个域：
D1=导师集合SUPERVISOR=｛刘备，关羽｝
D2=专业集合SPECIALITY=｛计算机专业，网络安全专业｝
D3=研究生集合POSTGRADUATE=｛赵云，马超，黄忠｝
D1，D2，D3的笛卡尔积为:

• D1×D2×D3＝｛
  (刘备，计算机专业，赵云)，(刘备，计算机专业，马超)，
  (刘备，计算机专业，黄忠)，(刘备，网络安全专业，赵云)，
  (刘备，网络安全专业，马超)，(刘备，网络安全专业，黄忠)，
  (关羽，计算机专业，赵云)，(关羽，计算机专业，马超)，
  (关羽，计算机专业，黄忠)，(关羽，网络安全专业，赵云)，
  (关羽，网络安全专业，马超)，(关羽，网络安全专业，黄忠) ｝
• 基数为2×2×3＝12
• 表1.2.5如下：
  
  1.3 关系（Relation）
  （1） 关系，D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的关系，表示为：
  R（D1，D2，…，Dn）
  ●R：关系名
  ●n：关系的目或度（Degree）
  （2）元组，关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。
  （3）单元关系与二元关系
  当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation），或一元关系 ；
  当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）。
  （4）关系的表示
  关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。
  （5）属性
  ●关系中不同列可以对应相同的域
  ●为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）
  ●n目关系必有n个属性
  （6）码
  候选码（Candidate key）：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码
  简单的情况：候选码只包含一个属性
  全码（All-key）：最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）。
  主码：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）
  主属性：候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute），不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）。
  ★★D1，D2，…，Dn的笛卡尔积的某个子集才有实际含义
  例：表1.2.5 的笛卡尔积没有实际意义，取出有实际意义的元组来构造关系
  关系：SAP(SUPERVISOR，SPECIALITY，POSTGRADUATE)
  假设：导师与专业：n:1， 导师与研究生：1:n
  主码：POSTGRADUATE（假设研究生不会重名）
  

（7）三类关系

1. 基本关系（基本表或基表）：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
2. 查询表：查询结果对应的表
3. 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

（8）基本关系的性质
① 列是同质的（Homogeneous）
② 不同的列可出自同一个域，●其中的每一列称为一个属性 ●不同的属性要给予不同的属性名
③ 列的顺序无所谓,，列的次序可以任意交换
④ 任意两个元组的候选码不能相同
⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
⑥ 分量必须取原子值，这是规范条件中最基本的一条
不能出现如下情况：

2.关系模式
2.1 什么是关系模式
（1）关系模式（Relation Schema）是型。
（2）关系是值。
（3）关系模式是对关系的描述：
★元组集合的结构

• 属性构成
• 属性来自的域
• 属性与域之间的映象关系

★完整性约束条件

2.2 定义关系模式

（1）关系模式可以形式化地表示为：
R（U，D，DOM，F）
R 关系名
U 组成该关系的属性名集合
D U中属性所来自的域
DOM 属性向域的映象集合
F 属性间数据的依赖关系的集合
例:
导师和研究生出自同一个域——人，
取不同的属性名，并在模式中定义属性向域
的映象，即说明它们分别出自哪个域：
DOM（SUPERVISOR-PERSON）
= DOM（POSTGRADUATE-PERSON）
= PERSON

（2）关系模式通常可以简记为
R (U) 或 R (A1，A2，…，An)

• R: 关系名
• A1，A2，…，An : 属性名

注：域名及属性向域的映象常常直接说明为属性的类型、长度

2.3 关系模式与关系
（1）关系模式

• 对关系的描述
• 静态的、稳定的

（2）关系

• 关系模式在某一时刻的状态或内容
• 动态的、随时间不断变化的

（3）关系模式和关系往往笼统称为关系，通过上下文加以区别

3.关系数据库
（1）关系数据库

• 在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

（2）关系数据库的型与值

• 关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述
• 关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库

4.关系模型的存储结构
关系数据库的物理组织：

• 有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成
• 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理

二、关系操作
1.基本的关系操作
（1）常用的关系操作

• 查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积，而选择、投影、并、差、笛卡尔积是5种基本操作
• 数据更新：插入、删除、修改

（2）关系操作的特点
集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式

2.关系数据库语言的分类
（1）关系代数语言

• 用对关系的运算来表达查询要求
• 代表：ISBL

（2）关系演算语言：用谓词来表达查询要求
●元组关系演算语言

• 谓词变元的基本对象是元组变量
• 代表：APLHA, QUEL

●域关系演算语言

• 谓词变元的基本对象是域变量
• 代表：QBE

（3）具有关系代数和关系演算双重特点的语言

• 代表：SQL（Structured Query Language）

三、关系的完整性
★关系的三类完整性约束：

-●实体完整性和参照完整性

• 关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持

-●用户定义的完整性

• 应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束

1.实体完整性

1.1 实体完整性规则（Entity Integrity）
（1）若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
（2）空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值
例：
选修（学号，课程号，成绩）
●“学号、课程号”为主码
●“学号”和“课程号”两个属性都不能取空值

1.2 实体完整性规则的说明
（1）实体完整性规则是针对基本关系而言的。 一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
（2）现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
（3）关系模型中以主码作为唯一性标识。
（4）主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性

2.参照完整性

2.1 关系间的引用

（1）在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用。
例2.11：
学生实体、专业实体
　学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）-----学号为主码
　专业（专业号，专业名）-----专业号为主码

• 学生关系引用了专业关系的主码“专业号”。
• 学生关系中的“专业号”值必须是确实存在的专业的专业号
  例2.12：
  学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
  学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  课程（课程号，课程名，学分）
  选修（学号，课程号，成绩）
  例2.13：
  学生实体及其内部的一对多联系
  学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
  
  ★“学号”是主码，“班长”是外码，它引用了本关系的“学号” ，“班长” 必须是确实存在的学生的学号
  ps：熟记上面的例子下面都会围绕三个例子来讲解

2.2 外码（Foreign Key）
（1）设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码
（2）基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
（3）基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）
（4）上例2.11中学生关系的“专业号”与专业关系的主码“专业号”相对应

• “专业号”属性是学生关系的外码
• 专业关系是被参照关系，学生关系为参照关系
  

（5）例2.12中
●选修关系的“学号” 与学生关系的主码“学号”相对应
●选修关系的“课程号”与课程关系的主码“课程号”相对应

• “学号”和“课程号”是选修关系的外码
• 学生关系和课程关系均为被参照关系
• 选修关系为参照关系
  

（6）例2.13中 “班长”与本身的主码“学号”相对应

• “班长”是外码
• 学生关系既是参照关系也是被参照关系
  

（7）关系R和S不一定是不同的关系
（8）目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上
（9）外码并不一定要与相应的主码同名

• 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别

2.3 参照完整性规则
（1）参照完整性规则：若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：

• 或者取空值（F的每个属性值均为空值）
• 或者等于S中某个元组的主码值

（2）在例2.11中：
学生关系中每个元组的“专业号”属性只取两类值：

• 空值，表示尚未给该学生分配专业
• 非空值，这时该值必须是专业关系中某个元组的“专业号”值，表示该学生不可能分配一个不存在的专业

（3）例2.12中
选修（学号，课程号，成绩）
“学号”和“课程号”可能的取值 ：

• 选修关系中的主属性，不能取空值
• 只能取相应被参照关系中已经存在的主码值

（4）例2.13中
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
“班长”属性值可以取两类值：

• 空值，表示该学生所在班级尚未选出班长
• 非空值，该值必须是本关系中某个元组的学号值

3.用户定义的完整性
（1）针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
（2）关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能
例3.31：
课程（课程号，课程名，学分）
“课程号”属性必须取唯一值
非主属性“课程名”也不能取空值
“学分”属性只能取值{1，2，3，4}

四、 关系代数
★关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询
★关系代数

• 运算对象是关系
• 运算结果亦为关系
• 关系代数的运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符

★传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行
★专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列
关系代数运算符如下：

1.传统的集合运算
（1） 并（Union）
●R和S

• 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
• 相应的属性取自同一个域

●R∪S

• 仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成 R∪S = { ${ t | t \in R ∨ t \in S }$}

R如下：

S如下：

则RUS如下：

（2）差（Difference）

●R和S

• 具有相同的目n
• 相应的属性取自同一个域

●R - S

• 仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成R-S = { ${ t | t \in R ∧ t \notin S }$}

则R-S 为：

（3） 交（Intersection）
●R和S

• 具有相同的目n
• 相应的属性取自同一个域

●R∩S

• 仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
  R∩S = { ${ t | t \in R ∧ t \in S }$}
  R∩S = R –(R-S）

则R∩S值为：

（4） 笛卡尔积（Cartesian Product）
●严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
●R: n目关系，k1个元组
●S: m目关系，k2个元组
●R×S

• 列：（n+m）列元组的集合
  - 元组的前n列是关系R的一个元组
  - 后m列是关系S的一个元组
• 行：k1×k2个元组
  R×S = ${\overbrace{{t_r t_s}} |t_r \in R ∧ t_s \in S }$
  则R×S为：
  

2.专门的关系运算

2.1先引入几个记号
（1） R， $t \in R$，t[Ai]
● 设关系模式为R(A1，A2，…，An)
● 它的一个关系设为R
● $t \in R$表示t是R的一个元组
● t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量

（2） $A，t[A]， \overline{A}$
●若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
● $\overline{A}则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。$
（3） $\overbrace{{t_r t_s}}$
R为n目关系，S为m目关系。
$t_r \in R, t_s \in S，\overbrace{{t_r t_s}}称为元组的连接$
$\overbrace{{t_r t_s}}是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。$
（4）象集Zx
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
Zx={t[Z] | $t \in R$，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
例：

●x1在R中的象集

• Zx1 ={Z1，Z2，Z3}，

●x2在R中的象集

• Zx2 ={Z2，Z3}，

●x3在R中的象集

• Zx3={Z1，Z3}

2.2 选择
ps:下面内容围绕下表讲解
学生-课程数据库:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
Course

SC

(1)选择又称为限制（Restriction）
(2)选择运算符的含义
●在关系R中选择满足给定条件的诸元组
${ σ_F(R)}=$
{t | $t \in R$∧F(t)= ‘真’}
●F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”

• 基本形式为： $X_1 θ Y_1$
• θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>

(3)选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

例：查询信息系（IS系）全体学生。

结果：
例：查询年龄小于20岁的学生。

结果：

2.3 投影
(1)从R中选择出若干属性列组成新的关系
$π_A(R) = { t[A] | t \in R }$
A：R中的属性列
(2)投影操作主要是从列的角度进行运算

(3)投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
例：查询学生的姓名和所在系。
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影

结果：
例：查询学生关系Student中都有哪些系。

结果：

2.4 连接
（1）连接也称为θ连接
（2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

• A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
• θ：比较运算符
  ●连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

（3）两类常用连接运算
●等值连接（equijoin）

• θ为“＝”的连接运算称为等值连接
• 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：

●自然连接（Natural join）

• 自然连接是一种特殊的等值连接

两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
在结果中把重复的属性列去掉

• 自然连接的含义：R和S具有相同的属性组B
  

(4)●一般的连接操作是从行的角度进行运算。

●自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

例2.44：
关系R和关系S 如下所示：
R

S

一般连接

的结果如下：

等值连接

的结果如下：

自然连接

的结果如下：

（5）悬浮元组（Dangling tuple）

• 两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。

（6）外连接（Outer Join）
●如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接
●左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)

• 只保留左边关系R中的悬浮元组

●右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)

• 只保留右边关系S中的悬浮元组

下图是例2.44中关系R和关系S的外连接

例2.8中关系R和关系S的左外连接

例2.8中关系R和关系S的右外连接

2.5 除运算
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

（1）除操作是同时从行和列角度进行运算

例2.51
R

S

R÷S结果为：

（2）在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集为 {(b4，c6)}
a4的象集为 {(b6，c6)}
（3）S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
（4）只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影， 所以 R÷S ={a1}
例2.541：
查询至少选修1号课程和3号课程的学生号码 。
首先建立一个临时关系K：

然后求：


关系表如下：

201215121象集{1，2，3}
201215122象集{2，3}
K={1，3}
于是结果为：

例2.542 查询选修了2号课程的学生的学号。

下面两个自己动手试试看，答案我下次公布在评论区。
例2.543 查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生姓名
例2.544 查询选修了全部课程的学生号码和姓名。

ps：其实本章节还有一个关系演算然而不考察，本科也没讲，所以这里就不说了
附上本章成电复试重点：

1. 数据库的关系操作有哪些？各有什么作用？
   答：
   ★关系模型中常用的关系操作包括：选择（Select）、投影（Project）、连接（Join）、
   除（Divide）、并（Union）、交(Intersection）、差（Difference）、笛卡尔积等查
   询（Query）操作和增加（Insert）、删除（Delete）、修改（Update）操作两大部分。
   查询的表达能力是其中最主要的部分。
   ★关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。这种操作方式也称为一次一集合（set-at-a-time）的方式。相应地，非关系数据模型的数据操作方式则为一次一记录（record-at-a-time）的方式。