【学习笔记】斜率优化
[SDOI2012]任务安排
斜率优化入门题：
设\(f(x)\)为\(F(x)\)的后缀和，\(t(x)\)为\(T(x)\)的前缀和。\(dp(i)\)表示完成到第\(i\)任务的最小代价，转移：
\(dp(i)=\min \{dp(j) +f(j+1)\times(S+t(i)-t(j)) \}\)
拆掉：
- 和\(j\)无关: 没有
- 只和\(j\)相关:\(dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)
- 和\(i,j\)相关:\(f(j+1)\times t(i)\)
我们发现只和\(j\)相关的可以直接预处理，现在的问题是确定了\(i\)如何快速找到一个\(j\)
令\(y_j=dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)，\(x_j=f(j+1)\)，原式可以写成：
\[ dp(i)= y_j+x_jt(i) \]
转换一下式子
\[ y_j=-t(i)x_j+dp(i) \]
现在问题就变成了确定了一个\(i\)，要快速查询前面的一个\(j\)使得\(dp(i)\)最小
把这个东西看成一条直线，就变成了我有一条在平面上平移的斜率为\(-t(i)\)的直线，现在要找一个点\((x_j,y_j)\)使得过这个点的斜率为\(-t(i)\)的直线的截距尽量小。
蓝线:斜率为\(-t(i)\)的线
紫点:\((x_j,y_j)\)
很明显，可以看做有一条在\(y\)负半轴无限远处有一条直线慢慢上移(截距慢慢变大)，这条直线突然经过一个我们集合内的点时，它此时的截距就是最小的截距。
参考文献：