最小割总结

理解

最小割通常应用到有限制条件的问题上，初步学习时会较为难理解，希望在看完本文章后能对您有所帮助

两大建模理解：

\(inf\)的边表示：不能被割，通常用于表示某点和某个集合定向关联
连边\((s,u,w)\)表示：如果\(u\)不在\(s\)集需要付出\(w\)的代价
\((u,v,w)\)表示：如果\(u\)在\(s\)割，\(v\)在\(t\)割需要付出\(w\)的代价
\((u,v,w),(v,u,w)\)表示：如果\(u\)与\(v\)所属不同集合的时候需要付出\(w\)的代价

前置芝士

最大权闭合子图的思想

[TJOI2010]电影迷

虽然和最大权闭合子图有点像\((\)有正负权和依赖关系\()\)，但具体的关系还是模糊的，所以往那方面想就肯定错了

首先将所有设备按正(源)负(汇)与超级点连接，容量为权值绝对值大小，在有依赖条件下，两点有向连接容量为限制费

思路大体：先全部选择正点权，再减去最小割，而三种对应的割法在于放弃那哪个(跟源点或汇点断开)或者两个都选(割限制费)

[HNOI2013]切糕

\(D\)限制抽象来说就是：选\((i,j,k)\)，当\((x,y)\)与\((i,j)\)相邻时，选择范围在\((i,j,[k-D,k+D])\)

\(pos_{i,j,k-1}\xrightarrow{val_{i,j,k}} pos_{i,j,k}\)，而对于割这条边则表示选\((i,j,k)\)，则\(pos_{i,j,k-1}\xrightarrow{inf} pos_{x,y,k-1-D},pos_{i,j,k}\xrightarrow{inf} pos_{x,y,k+D}\)

这样保证了割掉\((i,j,k)\)之后不割\((x,y,[k-D,k+D])\)会导致图依然联通

[CEOI2008]order

\(S\)与工作相连，容量为利润，机器与\(T\)相连，容量为费用

工作与机器的连边为租用费用，与其他工作不造成影响，虽然占用了机器与\(T\)的容量，但这是与是否买机器进行了似贪心的操作

仅两种情况，拆点(黑色，白色)，二分图且与源点/汇点容量为价值，二分图之间的边容量\(inf\)
比如黑色的格外条件价值，同时选\((x_i,y_i)\)，则格外价值为\(val\)
新建节点\(nod\)，\(S\xrightarrow{val}nod,nod\xrightarrow{inf}(x_i,y_i)\)
如果割掉了\((x_i,y_i)\)与\(S\)的连边，那一定得割\(val\)，否则还是联通

[国家集训队]圈地计划

方格染色，黑\(x\)，白\(y\)：\(S\xrightarrow{A} x,x\xrightarrow{B}T;S\xrightarrow{B}y,y\xrightarrow{A}T\)

两种方法：

新建节点\(nod,nod'\),\(S\xrightarrow{C_{i,j}}nod,nod\xrightarrow{inf}(pos_{i,j}pos_{x,y});nod\xrightarrow{C_{i,j}}T,(pos_{i,j}pos_{x,y})\xrightarrow{inf},nod\)
\(pos_{i,j}\xrightarrow{C_{i,j}}pos_{x,y},pos_{x,y}\xrightarrow{C_{i,j}}pos_{i,j}\)两个相邻的点仅会加\(C_{i,j}+C_{x,y}\)，割\(A,B\)则也选择了\(C_A+C_B\)
割\(A,A\)或\(B,B\)都会放弃\(C_A+C_B\)

土地划分

分析：\(1\)属于\(A\)，\(n\)属于\(B\)，其他的\(i\)规划到\(A/B\)的利益为\(V_Ai,V_Bi\)，相邻点同色有\(S_A,v_B\)的利益(值均不同)，相邻异色会损失\(N\)(值均不同)
\(S\xrightarrow{inf}1,n\xrightarrow{inf}1：\)强制归属集合
\(S\xrightarrow{V_{Ai}}i,i\xrightarrow{V_{Bi}}：\)分类
\(S\xrightarrow{S_A}nod,nod\xrightarrow{inf}(i,x);nod'\xrightarrow{S_B}T,(i,x)\xrightarrow{inf}nod'\)：文理分科建图，不赘述
\(i\xrightarrow{N}x,x\xrightarrow{N}i：\)圈地计划建图，不赘述

[六省联考2017]寿司餐厅

不重复计算，重重单向限制：最大权闭合子图

每个区间按正负与\(S/T\)连边，区间强制选择\(pla_{i,j}\xrightarrow{inf}(pla_{i+1,j}pla_{i,j-1})\)，区间内的点强制选择\(pla_{i,j}\xrightarrow{inf}(pos_ipos_j)\)
点与编号的关系\(pos_{i}\xrightarrow{inf}id_{i}\)，点自身的费用\(pos_{i}\xrightarrow{id_i}T\)，编号的费用\(id_i\xrightarrow{m*id_i*id_i}T\)

[CQOI2017]老C的方块

观察非法情况都为两方块中夹着蓝线，两方块两边各另有一块其他颜色的，显然每对对紫块互不影响

我们染色后：

我们记白方块为\(W\)，黑为\(B\)，紫为\(Z_1,Z_2\)：\(S\xrightarrow{val_W}W,W\xrightarrow{inf}Z_1,Z_1\xrightarrow{min(val_{Z_1},val_{Z_2})}Z_2,Z_2\xrightarrow{inf}B,B\xrightarrow{val_B}S\)

[SDOI2014]LIS

破坏\(LIS\)显然是网络流的一个基本最小割模型

\(C\)各不相同，贪心选择即可，判断是否为最小割可行边\((\)是否\(u\)不能到达\(v)\)，而每次选择后需要直接割掉，生产的结果是退流：\(u\xrightarrow{f_{u,v}}S,v\xrightarrow{f_{u,v}}T\)

理解