HDU 6538 Neko and quadrilateral(极角排序+旋转坐标系)

这道题简直太好了,对于计算几何选手需要掌握的一个方法。

首先对于求解四边形面积,我们可以将四边形按对角线划分成两个三角形,显然此时四边形的面积最大最小值就变成了求解里这个对角线最近最远的点对。

对于此类问题有一个技巧,首先我们将点按照x为第一关键词y为第二关键词从小到大排序,然后我们开始取向量,并将所取的所有向量进行极角排序(斜率排序,叉积排序均可)。然后我们可以证明,第一条向量的两个端点在之前排序过的点的序列中是相邻的,如果这两个不是相邻的,说明中间存在一点并且满足中间的点的x大于左端点小于右端点,此时我们可以画图得知,这样会形成一条斜率更小的直线,与之前矛盾,所以这两个端点在原序列中必然相邻。接下来还有一个神奇的地方,这样的序列保证在序列的第一个点到向量的左端点的点距离这条直线单调递减,右侧亦如此,如果存在一个点比前一个点的距离要远,而这个点x大于前一个点的x,那么我们画图可知,这两点的斜率比当前斜率要小,则矛盾,以此证明出这样排序后的两条性质,那么我们考虑当我们旋转坐标系的时候,画图可知,受影响的点只有之前那条向量上的点,而且根据之前矛盾关系,之前那条的斜率大于现在这条,那么之前那条的两端点到这条线上的距离一个小一个大,那么我们只需要更换这两个点在序列中的位置,即可满足之前的单调性,所以每次旋转坐标系只需要交换上一条的向量两端点在排序后的序列中的位置即可,这样我们就维护出了距离对角线最远和最近的点,那么求解最大最小四边形面积也可以的出,当然也可以用此方法求得最大最小三角形面积,之前codeforce上有一题就是给定面积,去寻找是否存在三角形满足面积等于给定值,那么我们便可以用这个单调性以此基础上进行二分查找,所以此类方法复杂度为n2logn。

但是仅对于求解最大四边形三角形面积,还有一个更优的策略,我们可以得出,四边形上的四个点一定在凸包上,那么对于此类问题,我们便可以用旋转卡壳进行枚举,枚举每一条对角边,再用两个点去旋转,维护三角形最大值即可,对于三角形而言,一条边肯定在凸包上,那么只需要枚举凸包的边,旋转対種点,更新答案即可,此类方法复杂度nlogn。

 

 1 //      ——By DD_BOND
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 3 //#include<bits/stdc++.h>
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25 
26 #define fi first
27 #define se second
28 #define MP make_pair
29 #define pb push_back
30 #define INF 0x3f3f3f3f
31 #define pi 3.1415926535898
32 #define lowbit(a)  (a&(-a))
33 #define lson l,(l+r)/2,rt<<1
34 #define rson (l+r)/2+1,r,rt<<1|1
35 #define Min(a,b,c)  min(a,min(b,c))
36 #define Max(a,b,c)  max(a,max(b,c))
37 #define debug(x)  cerr<<#x<<"="<<x<<"\n";
38 
39 using namespace std;
40 
41 typedef long long ll;
42 typedef pair<int,int> P;
43 typedef pair<ll,ll> Pll;
44 typedef unsigned long long ull;
45 
46 const ll LLMAX=2e18; 47 const int MOD=1e9+7; 48 const double eps=1e-12; 49 const int MAXN=1e6+10; 50 const int hmod1=0x48E2DCE7; 51 const int hmod2=0x60000005; 52 53 inline ll sqr(ll x){ return x*x; } 54 inline int sqr(int x){ return x*x; } 55 inline double sqr(double x){ return x*x; } 56 ll __gcd(ll a,ll b){ return b==0? a: __gcd(b,a%b); } 57 ll qpow(ll a,ll n){ll sum=1;while(n){if(n&1)sum=sum*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return sum;} 58 inline ll dcmp(ll x){ if(fabs(x)<eps) return 0; return (x>0? 1: -1); } 59 60 int p[2010]; 61 62 struct Point{ 63 int x,y,i,j; 64 Point(){ x=y=0; } 65 Point(int a,int b){ x=a,y=b; } 66 Point(int a,int b,Point p){ i=a,j=b,x=p.x,y=p.y; } 67 Point operator -(const Point &n)const{ return Point(x-n.x,y-n.y); } 68 bool operator <(const Point&n)const{ return x==n.x? y<n.y: x<n.x; } 69 void output(){ cout<<x<<' '<<y<<endl; } 70 }point[2010],vec[2*MAXN]; 71 72 ll cross(Point a,Point b){ return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x; } 73 74 ll check(int i,int j,int k){ return abs(cross(point[j]-point[i],point[k]-point[i])); } 75 76 int main(void) 77 { 78 ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); 79  ll n; 80 while(cin>>n){ 81 ll s1=9e18,s2=0,cnt=0; 82 for(int i=0;i<n;i++) cin>>point[i].x>>point[i].y,p[i]=i; 83 if(n<4) return cout<<0<<' '<<0<<endl,0; 84 sort(point,point+n); 85 for(int i=0;i<n;i++) 86 for(int j=i+1;j<n;j++) 87 vec[cnt++]=Point(i,j,point[j]-point[i]); 88 sort(vec,vec+cnt,[](Point a,Point b){ return cross(a,b)>0; }); 89 for(int i=0;i<cnt;i++){ 90 int a=vec[i].i,b=vec[i].j; 91 if(p[a]>p[b]) swap(a,b); 92 if(p[a]!=0&&p[b]!=n-1) s2=max(s2,check(p[a],p[b],0)+check(p[a],p[b],n-1)); 93 if(p[a]!=0&&p[b]!=n-1) s1=min(s1,check(p[a],p[b],p[a]-1)+check(p[a],p[b],p[b]+1)); 94  swap(p[a],p[b]); swap(point[p[a]],point[p[b]]); 95  } 96 cout<<s1<<' '<<s2<<endl; 97  } 98 return 0; 99 }

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