copula是将多变量分布函数与其边际分布函数耦合的函数，通常称为边缘或简单的边缘。Copula是建模和模拟相关随机变量的绝佳工具。
Copula的主要吸引力在于，通过使用它们，您可以分别对相关结构和边缘（即每个随机变量的分布）进行建模。这可能是一个优点，因为对于某些边缘组合，没有内置函数来生成所需的多变量分布。例如，在R中，很容易从多元正态分布中生成随机样本，但是对于分别其边缘分别为Beta，Gamma和Student的分布来说，这样做并不容易。
此外，正如您可以通过谷歌搜索copula看到的那样，有各种各样的模型提供了一组非常不同且可定制的相关结构，可以很容易地适应观察到的数据并用于模拟。这种多样的选择是我最喜欢copulas的事情之一。
在这篇文章中，我们将展示如何使用copula包在R中使用copula，然后我们尝试提供一个简单的应用示例。
copulas如何工作
但首先，让我们试着了解copula的实际工作方式。
我们使用包n给出协方差矩阵，从3个随机变量的多元正态分布中生成样本。sigmaMASS
图书馆（MASS）
set.seed（100）
m < - 3
n < - 2000
西格玛< - 矩阵（c（1,0.4,0.2，
0.4,1，-0.8，
0.2，-0.8,1），
nrow = 3）
z < - mvrnorm（n，mu = rep（0，m），Sigma = sigma，empirical = T）
现在我们使用cor()和配对图检查样本相关性。
我们将设置method='spearman'为使用 而不是函数中的'pearson'方法cor()（这在我们的例子中并不是绝对必要的，因为我们将使用椭圆形copula，如果你使用非椭圆形copula，你可能想要使用Spearman的Rho或Kendall的Tau）。
库（斗志）
心病（Z，方法= '斯皮尔曼'）
pairs.panels（Z）
[，1] [，2] [，3]
[1，] 1.0000000 0.3812244 0.1937548
[2，] 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
[3，] 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
输出和配对图显示我们的样本确实具有完全预期的相关结构。
你< - pnorm（z）
pairs.panels（U）
这是包含在中的新随机变量的配对图u。请注意，每个分布在[0,1]区间内是均匀的。还要注意，相关性相同，实际上，我们应用的变换并没有改变随机变量之间的相关结构。基本上我们只留下通常被称为依赖结构的东西。
通过使用rgl库，我们可以绘制矢量的漂亮3D表示u。这非常适合演示目的，您可以轻松地围绕图形旋转，以防您想要检查不同的视角： 只需单击图片并拖动鼠标即可。
库（RGL）
PLOT3D格式（U [1]中，u [2]，U [1,3]，PCH = 20，列= 'navyblue'）
现在，作为最后一步，我们只需要选择边距并应用它们u。我选择了边缘为Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的参数进行分配。
x1 < - qgamma（u [，1]，shape = 2，scale = 1）
x2 < - qbeta（u [，2]，2,2）
x3 < - qt（u [，3]，df = 5）
PLOT3D格式（X1，X2，X3，PCH = 20，列= '蓝'）
下面是我们模拟数据的3D图。花几秒钟检查一下。可以肯定的是，这是一个非常简单的依赖结构，它以非常简单的方式生成并且步骤非常少。
值得注意的是，从多变量正态样本开始，我们构建了一个具有所需和固定依赖结构的样本，基本上是任意边缘。
df < - cbind（x1，x2，x3）
pairs.panels（DF）
心病（DF，甲基= '斯皮尔曼'）
x1 x2 x3
x1 1.0000000 0.3812244 0.1937548
x2 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
x3 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
这是随机变量的配对图：
我再次强调，我选择了完全随意的边缘。只要它是一个连续的函数，我就可以选择任何边际。
使用copula包
上面执行的整个过程可以更有效，简洁地完成，并且完全由copula包装进行一些额外的关注。让我们使用copula复制上面的过程。
库（系动词）
set.seed（100）
myCop < - normalCopula（param = c（0.4,0.2，-0.8），dim = 3，dispstr =“un”）
myMvd < - mvdc（copula = myCop，margin = c（“gamma”，“beta”，“t”），
paramMargins = list（list（shape = 2，scale = 1），
列表（shape1 = 2，shape2 = 2），
列表（df = 5）））
现在我们已经通过copula（普通copula）指定了依赖结构并设置了边缘，该mvdc()函数生成了所需的分布。然后我们可以使用该rmvdc()函数生成随机样本。
Z2 < - rmvdc（myMvd，2000）
colnames（Z2）< - c（“x1”，“x2”，“x3”）
pairs.panels（Z2）
模拟数据当然非常接近之前模拟的数据，并显示在下面的配对图中：
一个简单的应用示例
现在为现实世界的例子。我们将拟合两个股票的回报，并尝试使用copula模拟回报。我已经清理了两只股票的数据并计算了回报，你可以下载.csv格式的数据 。请注意，数据可能不是您在Google财经上可以找到的数据，因为我做了一些数据清理并删除了一些异常值而没有多想，主要是因为这是另一个应用程序的玩具示例。
让我们在R中加载回报
cree < - read.csv（'cree_r.csv'，header = F）$ V2
yahoo < - read.csv（'yahoo_r.csv'，header = F）$ V2
在直接进入copula拟合过程之前，让我们检查两个股票收益之间的相关性并绘制回归线：
情节（CREE，雅虎，PCH = ''）
abline（LM（雅虎〜CREE），山口= '红'，LWD = 1）
心病（CREE，雅虎，方法= '斯皮尔曼'）
[1] 0.4023584
我们可以看到一个非常温和的正相关 ：
在上面的第一个例子中，我选择了一个普通的copula模型而没有太多思考，但是，当将这些模型应用于实际数据时，应该仔细考虑哪些更适合数据。例如，许多copula更适合建模非对称相关，其他强调尾部相关性等等。我对股票回报的猜测是，t-copula应该没问题，但是猜测肯定是不够的。幸运的是，该VineCopula软件包提供了一个很好的功能，告诉我们应该使用什么copula。本质上，VineCopula库允许我们通过函数使用BIC和AIC执行copula选择BiCopSelect()
库（VineCopula）
你< - pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））[，1]
v < - pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））[，2]
selectedCopula < - BiCopSelect（u，v，familyset = NA）
selectedCopula
$家庭
[1] 2
$ PAR
[1] 0.4356302
$ PAR2
[1] 3.844534
请注意，我使用pobs()函数将伪观察结果输入到选择算法中。伪观测值是[0,1]区间内的观测值。
拟合算法确实选择了t-copula（在$family参考中编码为2 ）并为我们估计了参数。通过键入，?BiCopSelect()您实际上可以看到每个copula的编码。
让我们尝试使用copula包装拟合建议的模型，并仔细检查参数拟合。
t.cop < - tCopula（dim = 2）
set.seed（500）
m < - pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））
适合< - fitCopula（t.cop，m，method ='ml'）
COEF（FIT）
rho.1 df
0.43563 3.84453
很高兴看到拟合的copula的参数与函数建议的参数相同BiCopSelect()。我们来看看我们刚估计的copula的密度
rho < - coef（fit）[1]
df < - coef（fit）[2]
persp（tCopula（暗= 2，ρ-，DF = DF），dCopula）
现在我们只需要建立Copula并从中抽取3965个随机样本。
你< - rCopula（3965，tCopula（dim = 2，rho，df = df））
情节（U [1]中，u [2]，PCH = ' 'COL =' 蓝'）
心病（U，方法= '斯皮尔曼'）
[，1] [，2]
[1，] 1.0000000 0.3972454
[2，] 0.3972454 1.0000000
这是载体中包含的样本的图u：
来自copula的随机样本看起来有点接近独立情况，但这很好，因为回报之间的相关性很低。请注意，生成的样本与数据具有相同的相关性。
t-copula强调极端结果：它通常适用于在极值（分布的尾部）中存在高度相关性的建模现象。
还要注意它是对称的，这可能是我们的应用程序的问题，但是我们将忽略这一点。
现在我们正面临着困难：对边缘进行建模。为简单起见，我们将假设正态分布的回报，尽管众所周知它远非合理的假设。因此，我们估计边际的参数
cree_mu < - mean（cree）
cree_sd < - sd（cree）
yahoo_mu < - 意味着（雅虎）
yahoo_sd < - sd（雅虎）
让我们根据直方图绘制配件，以便直观地了解我们正在做的事情：
hist（cree，breaks = 80，main ='Cree returns'，freq = F，density = 30，col ='cyan'，ylim = c（0,20），xlim = c（-0.2,0.3））
线（SEQ（-0.5,0.5,0.01），dnorm（SEQ（-0.5,0.5,0.01），cree_mu，cree_sd），山口= '红'，LWD = 2）
传奇（'topright'，c（'Fitted normal'），col = c（'red'），lwd = 2）
hist（yahoo，breaks = 80，main ='Yahoo returns'，density = 30，col ='cyan'，freq = F，ylim = c（0,20），xlim = c（-0.2,0.2））
线（SEQ（-0.5,0.5,0.01），dnorm（SEQ（-0.5,0.5,0.01），yahoo_mu，yahoo_sd），山口= '红'，LWD = 2）
传奇（'topright'，c（'Fitted normal'），col = c（'red'），lwd = 2）
两个直方图显示如下
不要让漂亮的图表欺骗你，在回报分布的假设下，我们忽略了位于分布尾部的一些极端回报，但在这个例子中我们对联合行为感兴趣，所以我们就是这样即将分析。
现在我们在函数中应用copula，mvdc()然后用于rmvdc()从生成的多变量分布中获取模拟观测值。最后，我们将模拟结果与原始数据进行比较。
copula_dist < - mvdc（copula = tCopula（rho，dim = 2，df = df），margin = c（“norm”，“norm”），
paramMargins = list（list（mean = cree_mu，sd = cree_sd），
list（mean = yahoo_mu，sd = yahoo_sd）））
sim < - rmvdc（copula_dist，3965）
好，现在我们有模拟数据，让我们进行视觉比较
情节（CREE，雅虎，主要= '返回'）
点（SIM [1]，SIM [2]，COL = '红'）
图例（ 'bottomright'，C（ '观察'， '模拟'），列= C（ '黑'， '红'），PCH = 21）
这是在假设正常边缘和依赖结构的t-copula的情况下数据的最终散点图：
正如您所看到的，t-copula导致结果接近实际观察结果，尽管极端回报比实际数据少，我们错过了一些最极端的结果。如果我们对与这些库存相关的风险进行建模感兴趣，那么这将是一个主要的红旗，需要通过进一步的模型校准来解决。
由于此示例的目的仅仅是为了展示如何使用真实数据拟合copula并生成随机观察，我们将在此处停止。
正如好奇心让我向您展示如何通过调整dft-copula中的参数来改变copula中的模拟值。
让我们尝试df=1和df=8
set.seed（4258）
copula_dist < - mvdc（copula = tCopula（rho，dim = 2，df = 1），margin = c（“norm”，“norm”），
paramMargins = list（list（mean = cree_mu，sd = cree_sd），
list（mean = yahoo_mu，sd = yahoo_sd）））
sim < - rmvdc（copula_dist，3965）
情节（CREE，雅虎，主要= '返回'）
点（SIM [1]，SIM [2]，COL = '红'）
legend（'bottomright'，c（'Observed'，'Simulated df = 1'），col = c（'black'，'red'），pch = 21）
心病（SIM [1]，SIM [2]，方法= '斯皮尔曼'）
copula_dist < - mvdc（copula = tCopula（rho，dim = 2，df = 8），margin = c（“norm”，“norm”），
paramMargins = list（list（mean = cree_mu，sd = cree_sd），
list（mean = yahoo_mu，sd = yahoo_sd）））
sim < - rmvdc（copula_dist，3965）
情节（CREE，雅虎，主要= '返回'）
点（SIM [1]，SIM [2]，COL = '红'）
legend（'bottomright'，c（'Observed'，'Simulated df = 8'），col = c（'black'，'red'），pch = 21）
心病（SIM [1]，SIM [2]，方法= '斯皮尔曼'）
[1] 0.3929509
[1] 0.3911127
注意虽然Spearman的Rho类似，但我们获得的依赖结构有多么不同。
显然，该参数df对于确定分布的形状非常重要。随着df增加，t-copula倾向于高斯copula。
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