bzoj4299 Codechef FRBSUM

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给定一个序列，多次询问一个区间所有子集的元素和的 \(\operatorname{mex}\)

\(n,\ m\leq10^5,\ \sum a_i\leq10^9\)

主席树

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对于一个集合 \(S\) ，设它的子集元素和的 \(\operatorname{mex}\) 为 \(s\) ，设当前加入一个数 \(x\)

若 \(x\leq s+1\) ，则加入后 \(s\) 将变为 \(s+x\) ，若 \(x>s+1\) ，则对目前答案没有影响，但可能对以后的答案有影响。

因此可以写出一份伪代码

while True :
  sum = sigma {x | x <= s + 1}
  if sum > s :
    s = sum
  else :
    break

可以证明该操作时间复杂度为 \(O(\log a_i)\)

于是原题就变成了将 \([l,\ r]\) 中值域在 \([1,\ s+1]\) 中的数不断求和，并带入上述伪代码

可以用主席树维护

时间复杂度 \(O(n\log n\log a_i)\) ，空间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10, maxm = maxn * 20;
int n, m, len, a[maxn], data[maxn];
int tot, rt[maxn], ls[maxm], rs[maxm], sum[maxm];

void discretize() {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    data[i] = a[i];
  }
  sort(data + 1, data + n + 1);
  len = unique(data + 1, data + n + 1) - data - 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    a[i] = lower_bound(data + 1, data + len + 1, a[i]) - data;
  }
}

#define mid ((l + r) >> 1)

void ins(int &k, int rt, int l, int r, int x) {
  k = ++tot, ls[k] = ls[rt], rs[k] = rs[rt], sum[k] = sum[rt] + data[x];
  if (l == r) return;
  x <= mid ? ins(ls[k], ls[rt], l, mid, x) : ins(rs[k], rs[rt], mid + 1, r, x);
}

int query(int p, int q, int l, int r, int x) {
  if (l == r) return sum[p] - sum[q];
  return x <= mid ? query(ls[p], ls[q], l, mid, x) : sum[ls[p]] - sum[ls[q]] + query(rs[p], rs[q], mid + 1, r, x);
}

#undef mid

int query(int l, int r) {
  int ans = 0;
  while (1) {
    int tmp = query(rt[r], rt[l - 1], 1, len, upper_bound(data + 1, data + len + 1, ans + 1) - data - 1);
    if (tmp > ans) {
      ans = tmp;
    } else {
      return ans + 1;
    }
  }
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", a + i);
  }
  discretize();
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ins(rt[i], rt[i - 1], 1, len, a[i]);
  }
  scanf("%d", &m);
  while (m--) {
    int l, r;
    scanf("%d %d", &l, &r);
    printf("%d\n", query(l, r));
  }
  return 0;
}