图论基础知识(二) —— 路与连通

版权声明：欢迎转载和交流。 https://blog.csdn.net/Hachi_Lin/article/details/88047555

定义

定义1：路径

图G的一个非空点、边交替序列
$W = v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k$
称为一条从 $v_0$到 $v_k$的路径或** $(v_0,v_k)$-路径**，其中， $v_{i-1}$， $v_i$是 $e_i$的端点(1≤i≤k)。称 $v_0$为W的起点， $v_k$为W的终点， $v_i$(1≤i≤k-1)为W的内点，k为W的路长。

定义2：简单路径

一条路径，如果除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余所以顶点均不同，那么该路径称为一条简单路径。

定义3：迹、路

设 $v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k$是图G中一条路径，若边 $e_1,e_2,\dots,e_k$互不相同，则称该路径为迹；若点 $v_0,v_1,\dots,v_k$互不相同，则称该路径为路。

定义4：闭/开路径、闭/开迹

设 $v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k$是图G中的一条路径，如果 $v_0 = v_k$，则称该路径为闭路径，否则称为开路径。特别地，若 $v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k$是一条迹，k≥1，当 $v_0 = v_k$时称为闭迹，否则称为开迹。闭迹也称为回路。

定义5：圈、偶圈、奇圈

设 $v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k$是一条闭迹，如果 $v_0,v_1,\dots,v_{k-1}$互不相同，则称该闭迹为圈或k圈，且当k为偶数时为偶圈，k为奇数时称为奇圈。

定义6：连通图

设G是一个图，u、v∈V(G)，如果存在从u到v的路，则称u、v是相连的或连通的，若G中任意两点都连通，则称图G是连通图。

定义7：距离

设G是一个图，u、v∈V(G)，若u、v是连通的，则称最短(u,v)-路的长为u，v的距离，记为d(u,v)。

定理

定理1

若图G中每个顶点度数至少为2，则G中必有圈。

定理2

一个图G是二分图⇔G中不含奇圈。

定理3

设G是具有n个顶点的简单图，若G有ε条边， $\omega$个连通分支，则
$n-\omega \leq \epsilon \leq \frac{1}{2}(n-\omega)(n-\omega+1)$