看见一道据说是土耳其奥数不等式证明题

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奥数题及偏导数极值证明思路

2017土耳其奥数不等式题; 感觉土耳其不是奥数发达国家; 问题大致是证明如果

$$a>0,b>0,c>0,d>0,a+b+c+d=1$$
那么:
$$6\Big(a^3+b^3+c^3+d^3\Big)\ge a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}8$$

我觉得比较好的奥数问题是用高等的方法也不容易求解或证明才算数; 这个问题如果修改成如下多元函数的极值问题:

$$f(a,b,c)=6\Big(a^3+b^3+c^3+(1-a-b-c)^3\Big)-\Big( a^2+b^2+c^2+(1-a-b-c)^2\Big)-\dfrac{1}8$$

则求函数对 $a,b,c$的偏导数,再令为0, 得到如下二次方程组:

$$\left\{\quad \begin{array}{c} (2 a+b+c-1) (9 b+9 c-8)=0 \\ (a+2 b+c-1) (9 a+9 c-8)=0 \\ (9 a+9 b-8) (a+b+2 c-1)=0 \\ \end{array}\right.$$

一般的三元二次方程组求解是繁琐和困难的,但是这个特殊在每个等式左侧都是线性因式相乘形式,右侧是0,通过假设它的每个等式中的不同因子分别为0,则每个等式有两种0因子的可能, 3个等式因子为0组合起来, 乘法原理共得到$2^3=8$个线性方程组, 它们的解集就是原非线性方程组的解; (这个8刚好是比佐数,没有遗漏).

其中3个得到矛盾的线性方程组或系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩, 从而无解(意味着重根); 所以有5个可以求解, 满足 $a>0,b>0,c>0,1-a-b-c>0$ 条件的只有下面的线性方程组

$$\left\{\quad \begin{array}{c} -1 + 2 a + b + c= 0,\\ -1 + a + 2 b + c = 0,\\ -1 + a + b + 2 c= 0 \end{array}\right.$$

容易得到 $a=b=c=\dfrac{1}4=d$ 从而代回去得证; 为了说明是极小值, 可以再求一下$(a=1/4,b=1/4,c=1/4)$ 处 $f(a,b,c)$ 的Hessian矩阵, 证明它正定:

$$\left( \begin{array}{ccc} 14 & 7 & 7 \\ 7 & 14 & 7 \\ 7 & 7 & 14 \\ \end{array} \right)$$
各阶主子式对角占优且行列式大于0, 这个证明因为在高等数学多元微积分里面都是常规的思路,所以这道题出成奥数题有些过了;

其它想法

想把非线性混合整数规划功能加到sam的pso工具箱,却没有太多时间

工具箱下载

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/25986-constrained-particle-swarm-optimization

是否可以发起个类似众筹的计划, 针对不少人期望和亟待解决的问题,建立开源工具箱