YY的GCD[BZOJ2820]

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题面描述

因为没钱，所以

思路

由Zap的结论我们可以知道
我们这题应该求的是 $\large\sum_{isprime(p)}\sum_{i=1}^{\min(\left\lfloor n/p\right\rfloor,\left\lfloor m/p\right\rfloor)}\mu(i)*\left\lfloor\\\left\lfloor n/p\right\rfloor/i\right\rfloor*\left\lfloor\\\left\lfloor m/p\right\rfloor/i\right\rfloor$

设 $k=p*i$，则上式应为:
$\large\sum_{k=1}^n\sum_{isprime(p)并且p\mid k}\mu(\frac{k}{p})*\left\lfloor\\ n/k\right\rfloor*\left\lfloor\\ m/k\right\rfloor$

设 $f(k)=\sum_{isprime(p)并且p|k}\mu(\frac{k}{p})$就有
$\large\sum_{k=1}^nf(k)*\left\lfloor\\ n/k\right\rfloor*\left\lfloor\\ m/k\right\rfloor$

预处理出 $f(k)$的前缀和即可。

慢一点的预处理

void g_p()
{
    m=0;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=inf;i++)
    {
        if(!v[i])prime[++m]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=m&&i*prime[j]<=inf;j++)
        {
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else{mu[i*prime[j]]=-mu[i];}
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p=prime[i];
        for(int j=1;j*p<=inf;j++)f[j*p]+=mu[j];
    }
    for(int i=2;i<=inf;i++)f[i]+=f[i-1];
}

快一点的预处理

void g_p()
{
	m=0;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=inf;i++)
	{
		if(!v[i])prime[++m]=i,mu[i]=-1,f[i]=1;//f[i]=mu[i/i]
		for(int j=1;j<=m&&i*prime[j]<=inf;j++)
		{
			v[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=mu[i];mu[i*prime[j]]=0;break;}
			else{mu[i*prime[j]]=-mu[i];f[i*prime[j]]=-f[i]+mu[i];}
		}
	}
	for(int i=2;i<=inf;i++)f[i]+=f[i-1];
}

稍微解释一下:

f[i*prime[j]]=-f[i]+mu[i]

因为 $f(i)$可以类似看作一个 $\mu$的集合，现在这个集合中都乘上一个 $prime[j]$，会导致 $\mu$的值成为其相反数。

同理 $f(i*prime[j])$理应成为 $f(i)$的相反数再加上 $prime[j]$

AC code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define gc getchar()
using namespace std;
const int N=1e7+10;
const int M=5e6+10;
const int inf=1e7;
inline void qr(int &x)
{
	x=0;int f=1;char c=gc;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc;}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=gc;}
	x*=f;
}
void qw(ll x)
{
	if(x/10)qw(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int prime[M],m,mu[N];ll f[N];bool v[N];
void g_p()
{
	m=0;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=inf;i++)
	{
		if(!v[i])prime[++m]=i,mu[i]=-1,f[i]=1;
		for(int j=1;j<=m&&i*prime[j]<=inf;j++)
		{
			v[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=mu[i];mu[i*prime[j]]=0;break;}
			else{mu[i*prime[j]]=-mu[i];f[i*prime[j]]=-f[i]+mu[i];}
		}
	}
	for(int i=2;i<=inf;i++)f[i]+=f[i-1];
}
ll calc(int a,int b)
{
	if(a>b)swap(a,b);
	ll ans=0;
	for(int x=1,gx;x<=a;x=gx+1)
	{
		gx=min(a/(a/x),b/(b/x));
		ans+=(f[gx]-f[x-1])*(a/x)*(b/x);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	g_p();
	int n;qr(n);
	while(n--)
	{
		int a,b;qr(a),qr(b);
		qw(calc(a,b));puts("");
	}
	return 0;
}