洛谷P2257 YY的GCD（BZOJ2820）

莫比乌斯反演

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和NOI2010能量采集很像。

同样设$f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)==x],F(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|(i,j)]=\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor$

设$p$为质数，$n<m$，则有

$$\begin{align} Ans&=\sum_{p}f(p)\\ &=\sum_p\sum_{p|d}F(d)\mu(\frac dp)\\ &=\sum_p\sum_{d=1}^{\lfloor\frac np \rfloor}F(dp)\mu(d)\\ &=\sum_p\sum_{p|d}\lfloor\frac n{pd}\rfloor\lfloor\frac m{pd}\rfloor\mu(d)\\ \end{align}$$
令 $T=dp$，则
$$Ans=\sum_{T=1}^n\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum_{p|T}\mu(\frac Tp)$$

然后除法分块一下就好了。

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000005
#define F inline
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,t,mu[N],p[N],a[N];
bool f[N]; LL ans;
F char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    return l==r?EOF:*l++;
}
F int _read(){
    int x=0; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) ch=readc();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
    return x;
}
F void Make(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<N;i++){
        if (!f[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,v;j<=p[0]&&(v=i*p[j])<N;j++){
            f[v]=true,mu[v]=-mu[i];
            if (!(i%p[j])){ mu[v]=0; break; }
        }
    }
    for (int i=1;i<N;i++)
        for (int j=1;p[j]*i<N&&j<=p[0];j++)
            a[i*p[j]]+=mu[i];
    for (int i=1;i<N;i++) a[i]+=a[i-1];
}
int main(){
    for (Make(),t=_read();t;t--){
        n=_read(),m=_read(),ans=0;
        if (n>m) swap(n,m);
        int r=0;
        for (int l=1;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(1ll*m/l)*(1ll*n/l)*1ll*(a[r]-a[l-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}