省选专练之数学 BZOJ2820 YY的GCD

这个明显直接搞没法搞

还是得枚举质数

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d\in P}[GCD(i,j)==d]$

明显交换枚举顺序

$\sum_{d}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[GCD(i,j)==1]$

$\sum_{d}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\sum_{t|i,j}\mu(t)$

再次交换枚举顺序

$\sum_{d}\sum_{t|i,j}\mu(t)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{dt} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{dt} \right \rfloor}$

不妨令 $x=dt$

再次交换枚举顺序

$\sum_{x}\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})$

由于d是质数

这是可以再 $O(\frac{NlogN}{lnN})$ 算出来

这是线性的

埃式筛法就好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
typedef int INT;
#define int long long
inline void read(int &x){
    x=0;
    char ch=getchar();
    int f=1;
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}
const int N=1e7+1000;
int vis[N]={};
int mu[N]={};
int prime[N]={};
int G[N]={};
int cnt=0;
//void Pre(){
//	mu[1]=1;
//	for(int i=2;i<N;i++){
//		if(!vis[i]){
//			cnt++;
//			prime[cnt]=i;
//			mu[i]=-1;
//		}	
//		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++){
//			vis[prime[j]*i]=1;
//			if(i%prime[j]==0){
//				mu[i*prime[j]]=0;
//				break;
//			}
//			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
//		}
//	}
//	for(int i=1;i<=cnt;i++){
//		for(int j=prime[i];j<N;j+=prime[i]){
//			G[j]+=mu[j/prime[i]];
//		}
//	}
//	for(int i=1;i<N;i++){
//		G[i]+=G[i-1];
//	}
//}
void Pre(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			cnt++;
			prime[cnt]=i;
			mu[i]=-1;
			G[i]=1;
		}	
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++){
			vis[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				mu[i*prime[j]]=0;
				G[i*prime[j]]=mu[i];
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			G[i*prime[j]]=mu[i]-G[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++){
		G[i]+=G[i-1];
	}
}
void Solve(){
	int n,m;
	read(n);
	read(m);
	if(n<m)swap(n,m);
	int ans=0;
	for(int t=1,last;t<=m;t=last+1){
		last=min(n/(n/t),m/(m/t));
		ans+=(G[last]-G[t-1])*(n/t)*(m/t);
	}
	cout<<ans<<'\n';
}
INT main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
	Pre();
	int Cas;
	read(Cas);
	while(Cas--){
		Solve();
	}
}

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