[题解] BZOJ 2820 YY的GCD

BZOJ 2820 YY的GCD

跟着litble学套路

Solution

题目要求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1 }^{m}[gcd(i,j)\in prime]$

开始疯狂套路

0x00

首先枚举$gcd$

$$\sum_{d\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$$

0x01

接着将$gcd(a,b)==d$变为$gcd(a/d,b/d)==1$

$$\sum_{d\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]$$

0x02

其次我们通过莫比乌斯函数的性质

$$\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &otherwise \end{cases}$$
将 $[gcd(i,j)==1]$转化为 $\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)$,即 $\sum_{t|i\land t|j}\mu(t)$
$$\sum_{d\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\sum_{t|i\land t|j}\mu(t)$$

0x03

下一步枚举$t$
同时$i,j$也会变形,变为枚举$t$的倍数

$$\sum_{d\in prime}^{n}\sum_{t=1 }^{\left \lfloor \frac {n}{d} \right \rfloor}\mu(t)\left \lfloor \frac{n}{td} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{td} \right \rfloor$$

0x04

设$T=td$,枚举$T$

$$\sum_{T=1}^{n}\sum_{d\in prime\land d|T}^{n}\mu(\frac{T}{d})\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor$$

0x05

设$F(T)=\sum_{d\in prime\land d|T}^{n}\mu(\frac{T}{d})$,用线性筛将其处理出来

$$\sum_{T=1}^{n}F(T)\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor$$
后面利用分块+前缀和在 $O(\sqrt n)$ 时间内处理出来

搞定!

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000005;
int pri[N],tot,mu[N],n,m,t;
long long f[N];
bool mark[N];
void get() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;++i) {
        if(!mark[i]) {
            pri[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=10000000;++j) {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
        for(int j=1;j*pri[i]<=10000000;++j)
            f[pri[i]*j]+=mu[j];
    for(int i=1;i<=10000000;++i)
        f[i]+=f[i-1];
}
long long cal() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    int pos=0;
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1) {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(f[pos]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
int main() {
    get();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
        printf("%lld\n",cal());
    return 0;
}