【LOJ3075】「2019 集训队互测 Day 3」组合数求和

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【思路要点】

所求的 $f$ 即为 $\sum_{i=0}^{n-1}(x+1)^{id}=\frac{(x+1)^{nd}-1}{(x+1)^d-1}$ 前 $m$ 项的系数。

记 $A(x)=\frac{(x+1)^{nd}-1}{x},B(x)=\frac{(x+1)^d-1}{x},C(x)=\sum_{i=0}^{n-1}(x+1)^{id}$ ，那么 $A(x)=B(x)C(x)$ ，其中 $B(x)$ 的次数为 $d$ ，其中 $C(x)$ 的次数为 $m$ 。

考虑计算模数为 $p^k$ 时的 $C(x)$ ，最后用中国剩余定理合并答案。

比较 $A(x)=B(x)C(x)$ 两端的系数，有 $[x^i]A(x)=\sum_{j=0}^{d-1}[x^j]B(x)[x^{i-j}]C(x)$ 。

找到最小的 $t$ ，使得 $[x^t]B(x)$ 不是 $p$ 的倍数，则有
$[x^t]B(x)[x^i]C(x)=[x^{i+t}]A(x)-\sum_{j=0}^{t-1}[x^j]B(x)[x^{i+t-j}]C(x)-\sum_{j=t+1}^{d-1}[x^j]B(x)[x^{i+t-j}]C(x)$

由于 $[x^t]B(x)$ 不是 $p$ 的倍数，我们可以将等式两侧乘以其乘法逆元。

可以发现，对于 $j>i$ ，上式中 $[x^j]C(x)$ 前的系数均为 $p$ 的倍数，因此，若让等式右侧的 $[x^j]C(x)$ 从高次向低次再次代入上式，可以使得对于 $j>i$ ，得式中 $[x^j]C(x)$ 前的系数均为 $p^2$ 的倍数，重复 $k$ 次即可让 $[x^i]C(x)$ 的计算式中只包含 $A(x)$ 中的项，以及 $C(x)$ 中次数小于 $i$ 的项，从而直接计算答案。

计算模数为 $p^k$ 时的 $C(x)$ 的时间复杂度为 $O(mdk+d^2k^2)$ 。

总时间复杂度 $O(mLogM+mLogN+mdLogM+d^2Log^2M)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 4e6 + 5;
const int MAXQ = 4e3 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, d, P;
vector <pair <int, int>> p;
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	int q = a / b, r = a % b;
	exgcd(b, r, y, x);
	y -= q * x;
}
int inv(int x, int P) {
	int a = 0, b = 0;
	exgcd(x, P, a, b);
	return (a % P + P) % P;
}
int crt(int a, int P, int invP, int b, int Q, int invQ) {
	int Mod = P * Q;
	return (1ll * a * Q % Mod * invQ + 1ll * b * P % Mod * invP) % Mod;
}
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], res[MAXN];
void calcab(int ea, int eb, int m) {
	int lft = 1; vector <int> e(p.size());
	for (int i = 0; i < ea && i < m + MAXQ; i++) {
		int tmp = ea - i, tnp = i + 1;
		for (unsigned i = 0; i < p.size(); i++) {
			while (tmp % p[i].first == 0) {
				tmp /= p[i].first;
				e[i]++;
			}
			while (tnp % p[i].first == 0) {
				tnp /= p[i].first;
				e[i]--;
			}
		}
		lft = 1ll * lft * tmp % P * inv(tnp, P) % P;
		int res = lft;
		for (unsigned i = 0; i < p.size(); i++)
			res = 1ll * res * power(p[i].first, e[i]) % P;
		a[i] = res;
	}
	lft = 1; e.clear(), e.resize(p.size());
	for (int i = 0; i < eb; i++) {
		int tmp = eb - i, tnp = i + 1;
		for (unsigned i = 0; i < p.size(); i++) {
			while (tmp % p[i].first == 0) {
				tmp /= p[i].first;
				e[i]++;
			}
			while (tnp % p[i].first == 0) {
				tnp /= p[i].first;
				e[i]--;
			}
		}
		lft = 1ll * lft * tmp % P * inv(tnp, P) % P;
		int res = lft;
		for (unsigned i = 0; i < p.size(); i++)
			res = 1ll * res * power(p[i].first, e[i]) % P;
		b[i] = res;
	}
}
void factor(int x) {
	for (int i = 2; i * i <= x; i++)
		if (x % i == 0) {
			int cnt = 0;
			while (x % i == 0) {
				x /= i;
				cnt++;
			}
			p.emplace_back(i, cnt);
		}
	if (x != 1) p.emplace_back(x, 1); 
}
void solve(int p, int k, int P) {
	int pos = 0;
	while (b[pos] % p == 0) pos++;
	int mul = inv(b[pos], P);
	static int coef[MAXQ], mula[MAXQ], func[MAXQ];
	memset(coef, 0, sizeof(coef));
	memset(mula, 0, sizeof(mula));
	memset(func, 0, sizeof(func));
	for (int i = 0; i <= d - 1; i++) {
		if (i != pos) coef[d - 1 - i] = func[d - 1 - i] = 1ll * mul * (P - b[i] % P) % P;
		else mula[d - 1] = mul;
	}
	pos = d - 1 - pos;
	int Limit = pos + d * (k + 1);
	for (int e = 2, v = p * p; e <= k; e++, v *= p)
	for (int i = Limit; i >= pos; i--) {
		if (coef[i] % v == 0) continue;
		int tmp = coef[i]; coef[i] = 0;
		mula[i + d - 1 - pos] = (mula[i + d - 1 - pos] + 1ll * tmp * mul) % P;
		for (int j = 0; j <= d - 1; j++)
			coef[i - pos + j] = (coef[i - pos + j] + 1ll * tmp * func[j]) % P;
	}
	while (Limit > pos && mula[Limit] == 0) Limit--;
	for (int i = 0; i <= m - 1; i++) {
		int res = 0;
		for (int j = pos; j <= Limit; j++)
			res = (res + 1ll * mula[j] * a[i + j - pos]) % P;
		for (int j = 1; j <= pos && j <= i; j++)
			res = (res + 1ll * coef[pos - j] * c[i - j]) % P;
		c[i] = (res + P) % P;
	}
}
int main() {
	read(n), read(m), read(d), read(P);
	factor(P), calcab(n * d, d, m);
	int Mod = 1;
	for (auto x : p) {
		int Q = power(x.first, x.second);
		if (p.size() == 1) Q = P;
		solve(x.first, x.second, Q);
		int invMod = inv(Mod % Q, Q);
		int invQ = inv(Q % Mod, Mod);
		for (int i = 0; i <= m - 1; i++)
			res[i] = crt(res[i], Mod, invMod, c[i], Q, invQ);
		Mod *= Q;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= m - 1; i++)
		ans ^= res[i];
	writeln(ans);
	return 0;
}

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