第二章有限状态机及其扩展

2.1 有限状态机

2.1.1 基本概念

有限状态机是一个五元组 $M = \left ( Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F \right )$ ，分别为有限状态集合，有限输入字符集合，状态转移函数，初始状态，终结状态集合。

状态转移矩阵：行表示状态机当前所处的状态，列表示将要到达的下一个状态，行列交叉处表示输入字符。

状态转移表

状态转移图

有限字母表：由有限任意符号组成的非空集合，简称字母表，用 $\Sigma$ 表示

字符串：由字符组成的限序列

空串 $\varepsilon$
字符串长度：|a|
字符串连接：一次把两个字符串串接在一起，用 · 表示，也可以略去不写
字符串的重复连接： $\alpha ^{n}$ 表示字符串 $\alpha$ 重复拼接n次

语言：给定字母表 $\Sigma$ 上的字符串的集合，空语言用 $\Phi$ 表示。字母表 $\Sigma$ 上的所有字符串连同空串 $\varepsilon$ 一起构成的语言用 $\Sigma^{*}$ 表示

扩展转移函数 $\bar{\delta }$ ：对于有限状态机 $M = \left ( Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F \right )$ ，它的扩展转移函数 $\bar{\delta }$ ，是从 $Q \times \Sigma^{*}$ 到 $Q$ 的映射，具体定义如下：

$\delta \left ( q,\varepsilon \right ) = q;$
$\delta \left ( q, w\sigma \right ) = \delta\left ({\bar\delta\left ( q,w \right ),\sigma } \right )$ ，其中q属于Q，w属于 $\Sigma^{*}$ 、 $\sigma$ 属于 $\Sigma$

有限状态机所接受的语言：设有 $M = \left ( Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F \right )$ ，对于输入串x属于 $\Sigma^{*}$ ，有 $\delta \left ( q_{0} ,x\right ) = q^{'}$ , $q^{'}$ 属于F，则称字符串x被有限状态机所接受。进一步地，被M所接受的全部字符构成的集合，称为有限状态机M所接受的语言。

有限状态机仅接受某一种字母表上的输入符号串并发生状态改变，但无任何字符串输出的自动机器。

Mooer机：输出与状态有关

Mealy机：输出与状态和输入有关

Mooer机形式定义为 $M = \left ( Q, \Sigma , \Delta , \delta , \lambda , q_{0}\right)$ 分别表示为有限状态集合，有限输入字符集合，有限输出字符集合，状态转移函数，输入函数，初始状态。 $\delta$ ： $Q \times \Sigma \rightarrow 2^{Q}$ 是状态转移函数