形式化语言的重要性

世界上的语言，总体来说，可分为三类：

1.自然语言（比如英语和汉语）
2.半形式化的语言（数学语言），即自然语言加特定的符号。
3.形式化的语言（逻辑语言）

半形式化语言

任何一个数学分支的语言都是在自然语言的基础上附加一些特定的符号，它们与自然语言相比更具形式化。因此，称它为半形式化的语言。

数学语言作为一种特定的符号语言，与自然语言相比，它与算法建立了联系。因此，它还具有“可操作性”。法国数学家违达提出：我们可以用字母（即符号）表示已知量和未知量，并对此进行纯形式的操作，也即我们可以摆脱问题的具体内容，而从一般角度总结出普遍的算法。正如人们所熟悉的，我们可以按照以下的算法去求得任何一个一元一次方程的解：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤同除以未知数的系数。

许多数学家都认为的符号系统促进了整个数学的发展。特别地，数学家克莱因对代数学的情况写道：代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比 16 世纪技术的进步远为重要。事实上，采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。” （《古今数学思想》，第一册，第 301 页）正是在这种意义上，数学家迪多内认为：“好的符号往往伴随着易于使用它们的算法：我们把这理解为计算或常规的推论，就是说一旦确定之后就是永远如此，对它们的应用几乎是自动化的，不需要从头做起，这样，极为明显地简化了数学语言，并且可以集中注意力于证明的基本要素。”与此相反，“常常是由于缺乏能够说清楚真正实质的符号，数学的某个领域就得不到发展”（郑毓信，第 41 页）。

历史上，第一个有意识地、系统地在数学中使用字母的学者是十六世纪法国数学家韦达。他的这一工作不仅推动了代数学的发展，而且对十七世纪的数学家和逻辑学家莱布尼茨启发很大。因此，使数学本身有一套好看的、通用的符号，成为莱布尼茨在数学研究中的努力追求。因此，莱布尼茨的工作，导致了他在数学符号发展史上占据着重要的地位。如：莱布尼茨本人创立的微积分符号体系。在他的符号体系中， dx 表示 x 的微分， ddx 和 dddx 分别表示 x 的二阶和三阶微分。

然而，我国在辛亥革命之前，由于没有采用国际上通用的数学符号体系。直到 1906 年，京师大学堂使用的教科书上，仍然用天、地、人、元表示未知数，用符号“ ⊥ ”和“|”分别表示加和减，分数则自上而下读。这种表示方法显然是极不方便的，因此，也就必然遭到淘汰。

形式化语言

建立逻辑的语言，使逻辑学象数学那样也有一套好看的、通用的符号，其思想也可以追溯到莱布尼茨。他认为，我们可以建立一种普遍的、没有歧义的语言，通过这种语言，就可以把推理转变为演算。一旦发生争论，我们只要坐下来，拿出纸和笔算一算就行了。这里，他实际上提出了数理逻辑的两个基本思想：构造形式语言和建立演算。莱布尼茨的想法，实际上就是要将逻辑形式化。不过莱布尼茨没有实现他的两个设想。

1879年，逻辑学家弗雷格发表了名著的《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》。在这本书中，弗雷格借鉴了两种语言，一种是传统逻辑使用的语言，另一种是算术的语言。从而成功地构造了一种逻辑的形式语言，即：一种表意的符号语言，并且用这种语言建立了一个一阶谓词演算系统，实现了莱布尼茨提出建立一种普遍语言的思想。

弗雷格在他的形式语言创造中，最大的特点是引入了”量词”，可以说全面引入“量词”，是弗雷格在1879年对数学所做的最大贡献。有了“量词”，也就是有了“量词语句”，从而也就有了形式语言，催生了整个二十世纪数学的全面形式化。从本质上来说，当代数学就是形式化的数学。

量词简介：

量词有两个：全称量词 $\forall$ ，特称量词 $\exists$

全称量词	记号 $\forall$	表示 “所有”，“每一个”，“一切”
全称命题	记号 $\forall x\in M,p(x)$	对所有的x，x属于集合M，p(x)成立
全称命题的否命题	$\exists x \in M , ﹁p(x)$

特称量词	记号 $\exists$	表示： “至少有一个”，“存在有”，“有些”
特称命题	$\exists x \in M ,p(x)$	存在有x，x属于集合M，p(x)成立
特称命题的否命题	$\forall x\in M,﹁p(x)$

全称命题：其公式是“所有S是P"
由于代数定律使用的是全称量词（微积分也是），因此每一个代数定理都是一个全称命题，也正是全称量词使得使用带入规则进行恒等变换是代数推理的核心！。