从一道题来看如何分析斜率优化DP

版权声明：233 https://blog.csdn.net/gmh77/article/details/89179493

一生之敌斜率优化

前言

斜率优化是1D1D的特殊形式，因为可以直接求出失效时间所以不需要二分
关于斜率优化的维护内容不细讲自行百度，这里主要讲解题过程

例题1

jzoj1116. TOY
Description
8月P教授要去看奥运，但是他割舍不下自己的一大堆智力玩具。于是，他决定把所有玩具都运到北京去。P教授使用自己的物体维数压缩器ODZ(Object Dimension Zipper)来给玩具装箱。ODZ 可以将任意物品变成一维，再装到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过ODZ处理后一维长度是Ci。为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时，如果一个一维容器中有多个玩具，那么相信两件玩具之间要加入1个单位长度的填充物。

形式地说，如果将第i到第j件玩具放在一个容器中，那容器的长度将为：

x=j-i+sigma(Ck) //i<=k<=j

制作容器的费用与容器长度有关。根据P教授的研究，如果容器长度为x，其制作费用为(x-L)^2，其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制造出任意长度的容器（甚至超过L），但他希望费用最小。

Input
第一行输入两个整数N和L，接下来N行输入Ci。1<=N<=50000，1<=L,Ci<=10^7。

Output
输出最小费用。

Sample Input
5 4
3
4
2
1
4

Sample Output
1

分析

显然方程式是
$f[i]=(i-j+s[i]-s[j-1]-L)^2+f[j-1]$（s表示前缀和）
拆开可得
$f[i]=i^2+j^2+s[i]^2+s[j-1]^2+L^2-2ij+2is[i]-2is[j-1]-2iL-2js[i]+2js[j-1]+2jL-2s[i]s[j-1]-2s[i]L+2s[j-1]L+f[j-1]$
分成之和i有关，只和j有关和与ij都有关的三类：
i： $i^2+s[i]^2+L^2+2is[i]-2iL-2s[i]L$
j： $j^2+s[j-1]^2+2js[j-1]+2jL+2s[j-1]L+f[j-1]$
ij： $-2ij-2is[j-1]-2js[i]-2s[i]s[j-1]$
设 $G[j]=j^2+s[j-1]^2+2js[j-1]+2jL+2s[j-1]L+f[j-1]$
因为 $-2ij-2is[j-1]-2js[i]-2s[i]s[j-1]=-2(i+s[i])(j+s[j-1])$
设 $S=i+s[i],F[j]=j+s[j-1]$

于是 $f[i]=(i-j+s[i]-s[j-1]-L)^2+f[j-1]=(i^2+s[i]^2+L^2+2is[i]-2iL-2s[i]L)+G[j]-2SF[j]$
然后斜率优化基本套路，考虑j和k两个状态（j<k）
显然S递增且F[j]<F[k]，所以-2SF[j]>-2SF[k]，k的增长量比j小
而题目求的是答案最小，所以随着时间的推移k一定会比j优
于是j只有初值比k小才有存在的价值，即在第i时刻j比k优
因为队列中的数按照时间顺序加入，所以可以得知每次取队头最优，并且最早失效的状态也是队头
所以可以这样列：
$G[j]-2SF[j]&lt;G[k]-2SF[k]$（F[j]<F[k]）
$\frac{G[j]-G[k]}{F[j]-F[k]}&gt;2S$
若队头失效，则
$\frac{G[j]-G[k]}{F[j]-F[k]}&lt;=2S$
但下一个仍有效，即 $\frac{G[j]-G[k]}{F[j]-F[k]}&gt;2S$
所以可以得知维护的斜率单调递增

以后还有其他题再补上

code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;

long long a[50001];
long long s[50001];
long long f[50001];
long long G[50001];
long long F[50001];
int d[50001];
long long L,S,n,i,j,k,l,h,t;

long double xl(int x,int y)
{
	return (long double)(G[x]-G[y])/(F[x]-F[y]);
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&L);
	fo(i,1,n)
	scanf("%lld",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
	
	h=1;
	t=0;
	fo(i,1,n)
	{
		G[i]=sqr(i)+sqr(s[i-1])+2*i*s[i-1]+2*i*L+2*s[i-1]*L+f[i-1];
		F[i]=i+s[i-1];
		S=2*(i+s[i]);
		
		while (h<t && xl(d[t-1],d[t])>=xl(d[t],i)) --t;
		d[++t]=i;
		while (h<t && xl(d[h],d[h+1])<=S) ++h;
		
		f[i]=G[d[h]]+sqr(i)+sqr(s[i])+sqr(L)+2*i*s[i]-2*i*L-2*s[i]*L-2*(i+s[i])*(d[h]+s[d[h]-1]);
	}
	
	printf("%lld\n",f[n]);
}